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根据加速定理，我们明白了我们必须对算法定义复杂性而不能对问题定义复杂性。然而，直观上确实存在不同问题的难易程度(hardness)之分。有的问题只需要扫描一遍输入就可以求出，有的问题似乎除了暴力搜索之外没有好办法。那么我们应该如何比较不同问题之间的难度呢？（除非特殊说明，我们所说的“问题”就是指判定 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:57
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空间复杂性(Space Complexity)\(\newcommand{\TIME}{\text{TIME}}\)\(\newcommand{\M}{\mathbb{M}}\)\(\newcommand{\SPACE}{\text{SPACE}}\)\(\newcommand{\NSPACE}{\ 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:56
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如何定义时间复杂性\(\newcommand{\TIME}{\text{TIME}}\)\(\newcommand{\M}{\mathbb{M}}\) 加速定理(Speedup Theorem) 当我们提到“时间复杂性”的时候，我们说的是“一个算法的时间复杂性”，这是通过这个算法在图灵机上的运行步数 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:56
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当我们提到“计算(calculation)”这个词时，指的是“回答一个数学问题”。这个数学问题可以是“求两个正整数的乘积”，“求出一个线性方程组的所有解”，“给一列数字排序”，“给定一个无向图求最大独立集的大小”等等。在计算这些问题的时候，可以有很多不同的方法。对于第一个问题，我们可以依据“乘法本质 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:55
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Concentration不等式 \(\newcommand{\E }{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\Var}{\text{Var}}\)怎么样才算了解了一个随机变量的全部信息了呢？显然，只要能够得到一个随机变量的分布，就相当于得知了关于这个随机变量的所有信息，因为这意味着 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:52
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Streaming Model \(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\Var}{\text{Var}}\)假设我们会依次接收到一个正整数序列\(a_1,a_2,\cdots\)，保证序列长度不超过\(m\)。但我们只有有限的内存位来存放它们，序列 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:52
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到目前为止，我们对算法的分析都是基于算法在worst-case上的表现的。我们总会假设有一个adversary在已知我们设计的算法以后总会用一个最坏的输入来让我们的算法表现糟糕。然而我们发现，在某些在线算法问题下这样的分析方法太强了，以至于所有确定性算法甚至随机算法的竞争比都没有常数的竞争比，以至于 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:50
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在线二分图匹配(Online Bipartite Matching) 传统的二分图最大匹配问题是：给定二分图\(G=(A\cup B,E)\)（二分图意味着\(A\)中的点两两没有边相连，\(B\)中的点两两没有边相连），我们想要找到一个最大的\(E\)的子集\(M\)使得\(M\)中的任意两条边都 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:48
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\(k\)-server问题\(\newcommand{\ALG}{\text{ALG}}\newcommand{\OPT}{\text{OPT}}\) 对于一个集合\(S\)，如果可以对于其中任意两个元素\(x,y\)定义距离\(d(x,y)\)，并且满足正定性：\(\forall x,y,d(x 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:48
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Cache问题\(\newcommand{\ALG}{\text{ALG}}\newcommand{\OPT}{\text{OPT}}\) 考虑下面这个高速缓存(Cache)的问题：有一个大小为\(k\)的cache（也即cache内能存\(k\)个页），现在用户依次请求访问\(n\)个页：\(x_ 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:48
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线搜索问题(Line Search) 小A位于数轴上的原点，小B位于数轴上的整点\(D\)。小B位置固定不动，但小A不知道小B的位置。小A每次可以选择向右移动1或向左移动1，每次移动后会得到回答“现在的位置是否已经与小B重合”。设计一个算法，让小A能移动到小B的位置，并且移动的步数尽量少。 如果这个 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:47
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在线算法 在计算机科学中，我们经常遇到这样的问题：给一些输入，询问答案；再给一些输入，再询问答案……对于这样的问题，如果每次询问时我们都先给出答案再读取接下来的输入，就称为一个“在线算法(Online Algorithm)”；如果允许先保存下所有的输入，到最后再回答所有的询问，就称为一个“离线算法( 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:47
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数字签名方案的定义 消息的真实性在公钥加密的环境下是比私钥环境更重要的问题，因为在公钥加密中任何人都可以加密消息并发送给接收方。类比消息认证码MAC，在非对称密码学中我们用数字签名(digital signature)来做消息认证。定义如下： 一个数字签名方案是一个三元组\((\text{Gen}, 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:46
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寻求新的解决方案 在私钥加密的背景下，我们假设消息的发送方与接收方提前约定了只有双方知道的密钥。然而，私钥的约定必须提前在一个安全的信道上完成，这在很多时候是不方便甚至无法实现的。 考虑\(n\)个人的团队需要安全地互相通信的场景。如果需要用私钥加密保证团队中的人两两能够安全通信，那么每个人都要提前 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:45
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密码学中的哈希函数(hash functions)和通常意义下的哈希函数一样，都起到“把复杂对象映射到简单对象”的功能。从二进制串的角度，哈希函数能把长的二进制串映射到短的二进制串。 抗冲突性(Collision Resistance) \(\newcommand{\A}{\mathcal{A}}\ 阅读全文
posted @ 2024-12-17 02:45
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