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我们可以从有限群的大小\(|G|\)的质因数分解出发研究有限群的结构。 有限交换群 首先，我们研究交换群。对于交换群而言，所有子群都是正规子群。因此，所有的商集都会形成商群。由此我们能得到一些重要性质。 设\(G\)是有限交换群，\(|G|=n\)。假如\(n\)有素因子\(p\)，也即存在素数\( 阅读全文
posted @ 2024-04-13 15:53
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给定一个群\((G,\cdot)\)和一个非空集合\(X\)，如果我们能够定义一个\(G\)中元素和\(X\)中元素的运算\(\circ\)满足以下三条性质，就称群\(G\)作用在\(X\)上：① \(\forall g\in G,f_g:x\to g\circ x\)是一个\(X\)到\(X\)的 阅读全文
posted @ 2024-04-13 15:52
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摘要：
群的同构(Isomorphism) 现在我们能够更深刻地理解“群”到底是什么。群描述且仅描述一个给定集合以及定义在该集合上的唯一的一个二元运算。任意给定群里的两个元素，我们总能通过“运算”这一方式确定是群里的哪个元素与这两个元素对应。如果我们抛开群中每个元素的具体名字不看，元素个数与这种由每两个元素 阅读全文
posted @ 2024-04-13 15:51
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陪集(Coset) 对于\(G\)的一个子群\(H\)，每个\(g\in G\)我们都可以定义\(H\to G\)的映射\(f_g(x)=g\circ x\)，这一定是单射，因为消去律成立。对于给定的\(H\)，不同的\(g\)就给出了不同的单射，单射的像一定落在\(G\)中（封闭性），构成\(G\ 阅读全文
posted @ 2024-04-13 15:51
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循环群(Cyclic Group) 生成子群 对于任意群\(G\)的非空子集\(A\)，定义\(\lang A\rang =\bigcap\limits_{i \in I}H_i\)，其中\(H_i\)是所有包含\(A\)的\(G\)的子群。因为子群的交依然是子群，因此\(\lang A\rang\ 阅读全文
posted @ 2024-04-13 15:51
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群(Group)的定义 一般当我们谈论代数时，我们指的是用字母表示数。例如实数域上的代数，我们可以写出\(x\)来表示实数集合上的任意某个元素。我们使用原本的加法符号\(x+y\)表示某两个实数的和，它可能表示\(2+3\)，也可能表示\(12+35\)。这其实是对“数”这一概念的抽象化，使得表达式 阅读全文
posted @ 2024-04-13 15:50
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