随笔分类 - 数学 数论
摘要：【题目】 " 6392. 「THUPC2018」密码学第三次小作业 / Rsa" 【题意】T次询问，给定正整数c1,c2,e1,e2,N，求正整数m满足： $c_1=m^{e_1} \ \ mod \ \ N$ $c_2=m^{e_2} \ \ mod \ \ N$ 保证$c_1,c_2,e_1,e
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摘要：【题目】 "BZOJ 2111" 【题意】求有多少1~n的排列，满足$A_i A_{\frac{i}{2}}$，输出对p取模的结果。$n \leq 10^6,p \leq 10^9$，p是素数。 【算法】计数DP+排列组合+lucas 【题解】令i的父亲为i/2，转化为要求给一棵n个点的完全二叉树编
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摘要：【题意】给定a和b，求满足a<=lcm(x,y)<=b && x<y的数对(x,y)个数。a,b<=10^11。 【算法】莫比乌斯反演+组合计数 【题解】★具体推导过程参考：51nod1222 最小公倍数计数 过程运用到的技巧： 1.将所有i和j的已知因子提取出来压缩上届。 2.将带有μ(k)的k提
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摘要：【题目】GCD of Divisors 【题意】给定f(n)=Σd|n gcd(d,n/d)的前缀和F(n)，n=10^15。 【算法】莫比乌斯反演 【题解】参考：任之洲数论函数.pdf 这个范围显然杜教筛也是做不了的，而且考虑直接化简f(n)也遇到了困难，所以考虑将前缀和的Σ一起化简。 $$F(n
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摘要：【题意】给定n，求Σi=1~nΣj=1~n lcm(i,j)，n<=10^10。 【算法】杜教筛 【题解】就因为写了这个非常规写法，我折腾了3天…… $$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)$$ 令 $$g(n)=n*\sum_{i=1}^{n}\frac
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摘要：【题意】给定n，求Σφ(i)，n<=10^10。 【算法】杜教筛 【题解】 定义$s(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ 杜教筛$\sum_{i=1}^{n}(\varphi *I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1
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摘要：【题意】给定p，求p的原根g。3<=p<=10^9。 【算法】数学 【题解】p-1= p1^a1 * p2^a2 * pk^ak，g是p的原根当且仅当对于所有的pi满足g^[ (p-1)/pi ] ≠ 1 (%p) g一般很小，暴力求。 #include<cstdio> #include<cmath
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摘要：【题意】给定a,b,c，在天平左边放置若干重量a的砝码，在天平右边放置若干重量b的砝码，使得天平两端砝码差为c。设放置x个A砝码和y个B砝码，求x+y的最小值。 【算法】数论（扩展欧几里德算法） 【题解】问题转化为求满足方程ax+by=c，|x|+|y|的最小值。 先用扩展欧几里得算法求得通解。 由
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摘要：【题意】2154: Crash的数字表格 莫比乌斯反演，多组询问，T<=10000。 【算法】数论（莫比乌斯反演） 【题解】由上一题， $ans=\sum_{g\leq min(n,m)}g\sum_{d\leq min(n/g,m/g)}\mu (d)*d^2*sum(n/gd,m/gd)$ 令T
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摘要：【题意】给定n,m，求Σlcm(i,j),1<=i<=n,1<=j<=m，n,m<=10^7。 【算法】数论（莫比乌斯反演） 【题解】 $$ans=\sum_{i\leq n}\sum_{j\leq m}\frac{i*j}{gcd(i,j)}$$ $$ans=\sum_{d\leq min(n,m
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摘要：【题目】G. Coprime Arrays 【题意】当含n个数字的数组的总gcd=1时认为这个数组互质。给定n和k，求所有sum(i),i=1~k，其中sum(i)为n个数字的数组，每个数字均<=i，总gcd=1的方案数。n<=2*10^6。答案将所有sum(i)处理成一个数字后输出。 【算法】数论
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摘要：【题意】令F(i)为 i 的约数和，Q次询问给定n,m,a，求：ΣF(gcd(i,j))%2^31，1<=i<=n，1<=j<=m，F(gcd(i,j))<=a。n,m<=10^5，a<=10^9，Q<=20000。 【算法】数论（莫比乌斯反演） 【题解】先无视a的限制，令g(x)表示gcd(a,b
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摘要：【题意】给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对。T<=10^4，N,M<=10^7。 【算法】数论（莫比乌斯反演） 【题解】公式推导见DQSSS。 推到ans= Σp是素数 Σd≤mins μ(d) * (n/pd) * (m/pd)，min
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摘要：【题意】T次询问第k小的非完全平方数倍数的数。T<=50，k<=10^9。（即无平方因子数——素因数指数皆为0或1的数） 【算法】数论（莫比乌斯函数） 【题解】考虑二分，转化为询问[1,x]中无平方因子数的个数（x最大为2n）。 运用容斥，答案ans=x - 1个素数的平方的倍数的数的个数 + 2个
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摘要：【题意】于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。n,a,b,c,d,k<=50000。 【算法】数论（莫比乌斯反演） 【题解】差分转化为询问有多少数对(x,y)满足x,y互素，1<=x<=n/k
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摘要：【题目】F. Paths 【题意】给定数字n，图上有编号为1~n的点，两点当且仅当gcd(u,v)≠1时有连边，定义d(u,v)为两点间最短距离（若不连通则为0），求Σd(u,v),1<=u<v<=n，n<=10^7。 【算法】数论 【题解】对于1<=x<=n，当x=1或x是大于n/2的素数时，x是
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摘要：【题意】数列满足an=an-1+an-2,n>=3。现在a1=i，a2=[l,r]，要求满足ak%p=m的整数a2有多少个。10^18。 【算法】数论（扩欧）+矩阵快速幂 【题解】定义fib(i)表示第 i 个斐波那契数，将数列an列项观察容易发现ak=a1*fib(k-2)+a2*fib(k-1)
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摘要：【题目】C. Ultimate Weirdness of an Array 【题意】给定长度为n的正整数序列，定义一个序列的价值为max(gcd(ai,aj)),1<=i<j<=n，定义f(i,j)为移除序列i~j后剩余序列的价值，求Σf(i,j)。1<=n,ai<=2*10^5。 【算法】数论+线
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摘要：【题目】A. Bear and Prime 100 【题意】有一数字x，每次可询问一个数字y是否x的因子，最后输出数字x是否素数，要求询问次数<=20。 【题解】容易发现[2,100]范围内的非素数一定能分解为[2,47]范围内的素数的乘积，所以只需要询问[2,47]范围内的15个素数。 平方数需要
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摘要：【题意】记正整数x的因数个数为g(x)，当正整数x满足：g(x)>g(i)（0<i<x）时，称x为反素数，求不超过给定N的最大反素数，N<2e9。 【算法】数论，搜索 【题解】 这个问题等价于求1~N中因数最多的最小数字。 反素数有以下性质： 1.反素数的素因子一定是从2开始的连续素数。 必要性证明
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