【BZOJ】2301: [HAOI2011]Problem b

【题意】于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。n,a,b,c,d,k<=50000。

【算法】数论(莫比乌斯反演)

【题解】差分转化为询问有多少数对(x,y)满足x,y互素,1<=x<=n/k,1<=y<=m/k。

 令f[x]表示gcd(a,b)=x的数对个数,F[x]表示满足 x | gcd(a,b) 的数对个数,则F[x]=Σx|df(d)。

易得F[x]=(n/x)*(m/x),那么根据莫比乌斯反演定理,f(x)=Σx|dμ(d/n)*F(d)=Σx|dμ(d/n)*(n/d)*(m/d)。

当x=1时,f(1)=Σμ(d)*(n/d)*(m/d),d=1~min(n,m),单次询问复杂度O(n)。

继续优化,n/d至多只有2*√n个取值,只要枚举这些取值后运用μ的前缀和(预处理)快速计算。

具体方法是:当前取值为n/i时,最小为i,最大为pos=n/(n/i),这m/(m/i)取min即可。

复杂度O(n√n)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=50010;
int miu[maxn],prime[maxn],tot,s[maxn],n;
bool mark[maxn];
void pre(int n){
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!mark[i])miu[i]=-1,prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
            mark[i*prime[j]]=1;
            miu[i*prime[j]]=-miu[i];
            if(i%prime[j]==0){miu[i*prime[j]]=0;break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+miu[i];
}
ll solve(int n,int m){
    ll ans=0;int pos=0;
    for(int i=1;i<=min(n,m);i=pos+1){
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=1ll*(s[pos]-s[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}    
int main(){
    scanf("%d",&n);
    pre(50000);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        a--;c--;a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
        printf("%lld\n",solve(b,d)-solve(b,c)-solve(a,d)+solve(a,c));
    }
    return 0;
}
View Code

尝试从套路的角度来推导ans=Σx|dμ(d/n)*(n/d)*(m/d)

★当x=1时,Σd|xμ(x)=1。所以gcd(a,b)=1等价于Σd|a&&d|bμ(d)。——①

$$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=k]$$

(i,j)=k等价于(i/k,j/k)=1可以得到:——②

$$ans=\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}[gcd(i,j)=1]$$

下一步代入经典gcd转μ,得到:

$$ans=\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}\sum_{d|i\cap d|j}\mu (d)$$

套路化地改为枚举gcd,得到:——③

$$ans=\sum_{d=1}^{min(\frac{n}{k},\frac{m}{k})}\mu (d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}[d|i\cap d|j]$$

最后部分满足条件的数对都可以除以d,就可以压缩上标直接计算了,即:——④

$$ans=\sum_{d=1}^{min(\frac{n}{k},\frac{m}{k})}\mu (d)\left \lfloor \frac{n}{kd} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{kd} \right \rfloor$$

 

posted @ 2018-01-11 17:02  ONION_CYC  阅读(...)  评论(...编辑  收藏