【LibreOJ】#6392. 「THUPC2018」密码学第三次小作业 / Rsa 扩展欧几里得算法

【题目】#6392. 「THUPC2018」密码学第三次小作业 / Rsa
【题意】T次询问,给定正整数c1,c2,e1,e2,N,求正整数m满足:
\(c_1=m^{e_1} \ \ mod \ \ N\)
\(c_2=m^{e_2} \ \ mod \ \ N\)
保证\(c_1,c_2,e_1,e_2 \leq N,2^8 < N < 2^{63},T \leq 10^4,(e_1,e_2)=1,(m,N)=1\)
【算法】扩展欧几里得算法
我们最终要求\(m\),而已知\(m^{e_1}\)\(m^{e_2}\),容易考虑辗转相除法。每次将\((e_1,e_2)\)更新为\((e_2,e_1 \% e_2)\),那么值的变化就是从\((c_1,c_2)\)更新为\((c_2,\frac{c_1}{c_2^{e_1/ e_2}})\)。这样辗转相除到\(e_2=0\)为止,此时\(c_1\)就是答案。
过程中要注意:long long范围内的乘法要用快速乘(包括快速幂)。由于不保证N是素数所以不能用费马小定理,必须用扩欧求解逆元。
复杂度\(O(T \ \ log^3n)\)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,e1,e2,c1,c2;
ll M(ll x){return x>=n?x-n:x;}
ll pows(ll x,ll k){ll ans=0;while(k){if(k&1)ans=M(ans+x);x=M(x+x);k>>=1;}return ans;}
ll power(ll x,ll k){ll ans=1;while(k){if(k&1)ans=pows(ans,x);x=pows(x,x);k>>=1;}return ans;}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;y=0;}else{exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}}
ll inv(ll a){ll x,y;exgcd(a,n,x,y);return (x%n+n)%n;}
void gcd(ll a,ll b){
    if(!b)return;else{swap(c1,c2);c2=pows(c2,inv(power(c1,a/b)));gcd(b,a%b);}
}
int main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&c1,&c2,&e1,&e2,&n);
        gcd(e1,e2);
        printf("%lld\n",c1);
    }
    return 0;
}

然后看了官方正解后发现,这种做法的本质就是扩展欧几里得算法。由于:

\[m^1=m^{e_1*s+e_2*t}=(m^{e_1})^s*(m^{e_2})^t=(c_1)^s*(c_2)^t\]

于是用扩展欧几里得算法解出s和t,然后快速幂计算即可(负数先算逆元再快速幂)。

posted @ 2018-05-17 21:56  ONION_CYC  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏