集合覆盖问题的贪心和界限

集合覆盖问题 Set Cover ：给定一个全集 \(U\)，以及若干个子集 \(S_1, S_2, \dots, S_m\)，希望选出尽可能少的子集，使它们的并集覆盖整个 \(U\)。如果每个集合还有费用 \(c_i\)，目标就从“集合数量最少”变成“总费用最小”。无权版本可以看作每个集合费用都是 \(1\) 的特殊情况。

困难性质：重叠把选择变成了搜索

Set Cover 是 NP-hard 的。一个直观的看法是，它足够表达 Vertex Cover。给定图 \(G=(V,E)\)，把每条边看作全集里的一个元素，也就是 \(U=E\)。对每个顶点 \(v\)，构造一个集合 \(S_v\)，其中包含所有与 \(v\) 相连的边。现在，选若干个集合覆盖所有边，就等价于选若干个顶点，使每条边至少有一个端点被选中。这个归约说明 Set Cover 至少不会比 Vertex Cover 更容易。

除非问题规模很小，或者集合结构有特殊性质，否则不能指望一个精确算法在一般情况下跑得很好。暴力搜索要检查 \(2^m\) 种集合组合；即使加上剪枝，只要输入稍微恶劣一点，搜索空间仍然会膨胀。

所以 Set Cover 只能有近似算法。它的精确解很难，但它又有一个简单、稳定、可实现的贪心算法，而且这个算法能给出漂亮的调和数上界。

贪心算法：先买最便宜的新增覆盖

无权 Set Cover 的贪心策略很直接：每一步选择能覆盖最多未覆盖元素的集合。已经覆盖过的元素不再计入收益，因为重复覆盖不会让目标更接近完成。

如果是带权版本，则需要稍微更加精巧的构思：每一步选择单位新增覆盖成本最低的集合，也就是最小化 \(c_i / |S_i \setminus C|\)，其中 \(C\) 是当前已经覆盖的元素集合。也就是说，让选择此集合能新覆盖的元素数量相比其价格最小。而无权版本就是 \(c_i=1\) 时的特例。

伪代码可以写得很短：

C = ∅
answer = []

while C != U:
    choose S_i with S_i \ C ≠ ∅ minimizing c_i / |S_i \ C|
    answer.append(S_i)
    C = C ∪ S_i

如果某一轮已经不存在能覆盖新元素的集合，而 \(C \neq U\)，说明输入本身不可行。

这个问题的集合费用通常假设非负；零费用集合可以优先加入，因为它们不会增加目标值。

真正写程序时，可以护元素到集合的倒排索引，并用堆保存当前看起来最好的集合。由于覆盖状态不断变化，堆里的收益会过期，所以通常采用 lazy update：弹出堆顶后重新计算它的真实收益，如果仍然最优再使用，否则把更新后的值放回堆里。

调和上界：每个元素被收了一次“服务费”

这个算法显然不是最优，不过他离最优解大概有多近呢？

它其实有一个经典上界。设全集大小为 \(n\)，则贪心算法的费用不超过最优解费用的 \(H_n\) 倍，其中 \(H_n = 1 + 1/2 + \cdots + 1/n\)，大约是 \(\log n + O(1)\)。也称作 \(H(n)\)- 近似。

这个调和数不是凭空冒出来的。可以用一种“收费”的方式理解它。每当贪心算法选择一个集合 \(S\)，它的费用 \(c(S)\) 会平均分摊到这一步新覆盖的元素上。假如这一步新覆盖了 \(k\) 个元素，那么每个新元素被收取 \(c(S)/k\) 的价格。算法最终的总费用，正好等于所有元素被收取的价格之和。

现在拿最优解里的某个集合 \(T\) 来观察。按这些元素被覆盖的时间排序。第一个被覆盖时，\(T\) 中还至少有 \(|T|-1\) 个未覆盖元素；第二个被覆盖时，还至少有 \(|T|-2\) 个未覆盖元素；依此类推。

在任意时刻，集合 \(T\) 本身都是一个可选集合。贪心会选择单位新增覆盖成本最低的集合，既然之前没有选他，那么当 \(T\) 中还剩 \(r\) 个元素未被覆盖时，贪心给某个新元素分摊的价格不会超过 \(c(T)/r\)。于是，\(T\) 中这些元素被收取的总价格至多为：

\[c(T)\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{|T|}\right) \]

对最优解中的所有集合做同样分析，就得到贪心费用不超过 \(H_d\) 倍最优费用。由于 \(d \leq n\)，也就有 \(H_n\) 上界。

这个证明简介深入。贪心不保证最优，而是保证不会太离谱。重叠越复杂，局部选择越可能绕路；调和数衡量的正是这种绕路能坏到什么程度。

例子和上界紧性

令 \(U=\{a,b,c,d,e,f\}\)，给出三个集合：

G = {a,b,c,d}
A = {a,b,e}
B = {c,d,f}

无权情况下，贪心第一步会选 \(G\)，因为它覆盖 \(4\) 个元素，比 \(A\) 和 \(B\) 都大。选完 \(G\) 后，只剩 \(e\) 和 \(f\) 没覆盖，而 \(A\) 只能补上 \(e\)，\(B\) 只能补上 \(f\)，所以贪心最终要选 \(G,A,B\) 三个集合。可是最优解只需要 \(A\) 和 \(B\) 两个集合。

更接近调和上界的构造，在带权 Set Cover 中反而很清楚。令全集为 \(U={e_1,e_2,\dots,e_n}\)。构造一个大集合 \(T=U\)，费用为 \(1\)。同时，对每个元素 \(e_r\) 构造一个单元素集合 \({e_r}\)，费用设为 \(1/r-\varepsilon\)，其中 \(\varepsilon\) 是一个很小的正数。

最优解显然可以直接选择 \(T\)，总费用是 \(1\)。但贪心会怎样？一开始还有 \(n\) 个元素未覆盖，集合 \(T\) 的单位新增覆盖成本是 \(1/n\)，而单元素集合 \({e_n}\) 的成本是 \(1/n-\varepsilon\)，更便宜，所以贪心会先选 \({e_n}\)。接着还剩 \(n-1\) 个元素，\(T\) 的单位成本变成 \(1/(n-1)\)，而 \({e_{n-1}}\) 的成本是 \(1/(n-1)-\varepsilon\)，贪心又会选单元素集合。

这个过程会一直持续下去。贪心最终选择所有单元素集合，总费用接近：

\[1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \]

也就是 \(H_n\)。而最优解费用仍然是 \(1\)。当 \(\varepsilon\) 足够小时，贪心和最优解的比值就可以任意接近 \(H_n\)。

这个构造揭示了贪心算法的弱点：贪心每一步都被一个“刚好便宜一点”的局部选择吸引，结果一路错过了那个一次性覆盖全部元素的大集合。调和数不是凭空出现的，它正对应了这个过程中逐步变贵的边际覆盖成本。

已有 1998 年研究的经典不可近似性结果：Set Cover 的最优近似比就是 \(\ln n\)，不可能保证近似比小于 \((1-o(1))\ln n\)，再往前推进任何一点点，都会让问题变得和 P=NP 一样困难。

所以，调和数不仅是贪心算法的分析上界，更是整个问题在多项式时间内的理论极限。