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狄利克雷卷积 常见卷积关系 \(\mu *id = \phi\) \(\mu * 1 = \varepsilon\) \(\phi*1 = id\) \(1*1 = d\) \(id * 1 = \sigma\) \(id^k * 1 = \sigma_k\) \(\sigma_0 * \mu = 阅读全文
posted @ 2025-08-12 07:56
michaele
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乘法逆元 乘法逆元的定义 若 \(a\times x \equiv 1 ( \bmod b )\) ，且 \(gcd(a,b) = 1\) ，那么我们定义 \(x\) 为 \(a\) 在 \(\bmod b\) 意义下的逆元 对于在 \(\bmod b\) 下的运算，除 \(a\) 要用乘 \(x\ 阅读全文
posted @ 2025-08-11 10:25
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欧拉函数及其性质 定义 \(1 \sim N\) 中与 \(N\) 互质的数的个数，被称为欧拉函数，记作 \(\varphi(N)\) ， phi 如果 \(n\) 是个质数，那么 \(\varphi(n) = n - 1\) 如果 \(n\) 是素数的 \(k\) 次幂，即 \(n = p^k\) 阅读全文
posted @ 2025-08-11 10:22
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质因数分解 根据唯一分解定理 任何一个大于 1 的整数都可以被分解成有限个质数的乘积的形式 \[n = \prod_{i = 1}^m p_i^{c_i}=p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_m^{c_m} \] 我们有两种算法来分解一 阅读全文
posted @ 2025-08-11 10:22
michaele
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最大公约数 先给两种写法 简单，但是慢 int gcd (int a, int b) { return b ? gcd (b, a % b) : a; } 稍微难写一点，但是飞快 int gcd (int a, int b) { if (a == 0 || b == 0) return a | b; 阅读全文
posted @ 2025-08-11 10:21
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posted @ 2025-08-11 10:19
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素数的判定 试除法 最常用的判素数方法 一个数如果不是质数，那么一定能被一个小于它的数整除。假设 \(a \mid n\) 那么 \(\frac n a \mid n\) 不妨设 \(a \le \frac n a\) 则有 \(a^2 \le n,\ a \le \sqrt{n}\) ，所以我们枚 阅读全文
posted @ 2025-08-11 10:18
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现在可能理解不是太深刻，但是我还是想把我不深刻的理解记录下来，以防忘记 概念 有一类DP状态方程： \(\displaystyle dp[i] = min\{dp[j]-a[i]d[j]\},\ 0\leq j<i,d[j]\leq d[j+1],a[i]\leq a[i+1]\) 它的特征是存在一 阅读全文
posted @ 2025-08-11 10:15
michaele
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摘要：
单调队列优化DP 优化多重背包 给定 \(N\) 种物品，每个物品有价值 \(v_i\) ，体积 \(w_i\) ，数量 \(c_i\) 有一个容量为 \(M\) 的背包，求最大价值 我们可以用二进制拆分法将每个物品拆分，时间复杂度为 \(O(M \sum \log c_i)\) 这里我们介绍单调队 阅读全文
posted @ 2025-08-11 10:14
michaele
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中国剩余定理 中国剩余定理（CRT） 孙子算经 今有物不知其数，三三数之余二；五五数之余三；七七数之余二。问物几何？ 像这样的问题，我们可以将它简化为下面的一个同余方程组 \[\left\{ \begin{align*} x \equiv 2 \ (\bmod3) \\ x \equiv 3 \ ( 阅读全文
posted @ 2025-08-09 11:02
michaele
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