5.4.3 斜率优化dp

现在可能理解不是太深刻，但是我还是想把我不深刻的理解记录下来，以防忘记

概念

有一类DP状态方程：
\(\displaystyle dp[i] = min\{dp[j]-a[i]d[j]\},\ 0\leq j<i,d[j]\leq d[j+1],a[i]\leq a[i+1]\)
它的特征是存在一个既有\(\displaystyle i\)又有\(\displaystyle j\)的项 \(\displaystyle a[i],\ d[j]\) ，编程时，如果简单地对外层\(\displaystyle i\)和内层\(\displaystyle j\)循环，复杂度为\(\displaystyle O(n^{2})\)

这里能用单调队列优化吗？单调队列所处理的策略，要求只能与内层有关，与外层无关，但是这个状态方程无法简单地得到只与\(\displaystyle j\)有关的部分

用斜率（凸壳）模型，能够将方程转化，得到一个只与\(\displaystyle j\)有关的部分，即“斜率”从而能够使用单调队列优化。这个算法称为斜率优化/凸壳优化（Convex Hull Trick），总时间复杂度为（n），斜率优化的核心技术是斜率（凸壳）模型和单调队列。

例题

结合例题理解
例题：Problem - 3507
Zero 想要打印一篇有 N 个单词的文章，每个单词 i 的打印成本为 \(\displaystyle C_{i}\)。此外，Zero 知道在一行中打印 k 个单词的成本为

\[\displaystyle (\sum_{i=1}^{k} C_{i})^{2}+M \]

求最小成本，\(\displaystyle 0\leq n\leq 5e5,0\leq M\leq 1e 3\)

我们很容易能够得到转移方程：
这里\(\displaystyle s_{i}\)表示从开头到\(\displaystyle i\)位置的前缀和。

\[ \displaystyle f_{i}=\min_{0\leq j\leq i-1}\{f_{j}+(s_{i}-s_{j})^{2}+M\} \]

把它转化一下

\[\displaystyle f_{i}=f_{j}+s_{i}^{2}+s_{j}^{2}-2s_{i}s_{j}+M \]

因为我们枚举的是\(\displaystyle i\)所以\(\displaystyle f_{i}\)和\(\displaystyle s_{i}\)是已知的，所以再变型

\[\displaystyle -s_{j}^{2}-f_{j}=-f_i - 2s_{i}s_{j} + s_{i}^{2} + M \]

因为我们要求的是最小的\(\displaystyle f_{i}\)，所以如果用这个式子的话是求上凸包（我不太熟悉），我们给左右两边同乘-1

\[\displaystyle f_{j} + s_{j}^{2} = 2s_is_j + f_i - s_i^2 - M \]

这里的有关 \(j\) 的项我们都是不知道的，所以我们可以将上面的式子看做 \(y = kx + b\) ，将决策点看做平面上坐标为 \((x,y)\) 的点

\[\displaystyle y\ (f_{j} + s_{j}^{2}) = k \ (2s_i) \ x \ (s_j) + b \ (f_i - s_i^2 - M) \]

因为我们要使 \(f_i\) 最小，所以我们可以将绿线向上移动，因为斜率不变，所以第一个碰到的点可以使 \(b \ (f_i - s_i^2 - M)\) 最小，从而使 \(f_i\) 最小

现在我们的问题转化成了维护这些点，从而使得我们能够快速找到对应的点，这就用到了我们的单调队列

我们维护一个相邻两个点间斜率单调递增的队列，注意，队列中的元素个数要 >= 1

• 将 \(i - 1\) 加入队列，如果是上图中的的那种情况 slope(t - 1, t) >= slope(t, i - 1) 那么我们将队尾元素弹出
• 将队头过时元素弹出，slope(h, h + 1) <= 2 * s[i] ，我们将队头弹出
• 更新当前的 dp 值

code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 5e5 + 10;

int n, m, q[N];
ll s[N], f[N];

//计算斜率，(y2 - y1) / (x2 - x1)
double slope (int i, int j) {
	return (double)(f[j] + s[j] * s[j] - f[i] - s[i] * s[i])
	/ (s[j] == s[i] ? 1e-9 : s[j] - s[i]);
}

int main () {
	
	while (~scanf ("%d%d", &n, &m)) {
		ll x;
		for (int i = 1; i <= n; i++) 
			scanf ("%lld", &x), s[i] = s[i - 1] + x;
		int h = 1, t = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
            //将 i - 1 插入队尾，h < t 保证队列中至少有 1 个元素
			while (h < t &&  slope (q[t], i - 1) <= slope(q[t - 1], q[t])) 
				t--;
			q[++t] = i - 1;
            //弹出过时队头
			while (h < t && slope(q[h], q[h + 1]) <= 2 * s[i]) h++;
			//更新当前 dp 值
            int j = q[h];
       		f[i] = f[j] + (s[i] - s[j]) * (s[i] - s[j]) + m;
		}
		printf ("%lld\n", f[n]);
	}
    
	return 0;
}