6.2.1 乘法逆元

乘法逆元

乘法逆元的定义

若 \(a\times x \equiv 1 ( \bmod b )\) ，且 \(gcd(a,b) = 1\) ，那么我们定义 \(x\) 为 \(a\) 在 \(\bmod b\) 意义下的逆元

对于在 \(\bmod b\) 下的运算，除 \(a\) 要用乘 \(x\) 来代替

扩展欧几里得

条件：\(gcd(a,p)=1\)

根据逆元定义 \(ax \equiv 1\ (\bmod p)\) 可得 \(ax + py = 1\) ，我们的目标是找到一组整数解 \(x,y\) 使得其成立

因为 \(gcd(p, a \bmod p) = gcd(a,p)= 1\)

所以我们可以递归去找到一组整数解 \(x',y'\) 使得 \(gcd(p, a \bmod p)=1\) 成立

\[\begin{align} &px'+ (a - \lfloor \frac a p \rfloor p)y' \\ &ay'+p(x'- \lfloor \frac a p \rfloor y') \\ &x = y' \\ &y = x' - \lfloor \frac a p \rfloor y' \end{align} \]

单次时间复杂度： \(O(\log n)\)

费马小定理

条件：\(p \in pri\) 且 \(gcd(a,p)=1\)

根据费马小定理变形得：\(a \times a^{p-2} \equiv 1 \ (\bmod p)\)

inv[x] = pw(x, mod - 2)

单次时间复杂度： \(O(\log n)\)

线性递推求 \(1 \sim n\) 的逆元

给定 \(n, p\) 求 \(1 \sim n\) 在模 \(p\) 意义下的乘法逆元。

\(1 \le n \le 3e6,n < p < 20000528\) ，保证 \(p\) 是质数

这个如果再用上面两个算法的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) ，是不能接受的

所以我们需要 \(O(n)\) 算法：线性递推

首先我们知道 \(1 \times 1^{-1} = 1 ( \bmod p)\) ，\(inv[1] = 1\)

设 \(k = \lfloor p/i \rfloor \ ,\ j = p \bmod i\) ，那么我们能得到 \(ki+j \equiv 0 \ (\bmod p)\)

两边同使乘 \(i^{-1}j^{-1}\) ，得到 \(kj^{-1}+i^{-1} \equiv 0\ (\bmod p)\)

所以 \(i^{-1} \equiv -kj^{-1} \ ( \bmod p )\)

inv[i] = mod - mod / i * inv[mod % i]

线性递推求 \(1 \sim n\) 阶乘的逆元

我们可以先将阶乘数组 fac[] 求出来，然后求出 \(fac[n]\) 的逆元 \(inv[n]\)

\(inv[n]\ 等价于 \ \frac {1} {n!}\)

\(inv[i - 1] = inv[i] * i\)