摘要：
最大流 1.最大流 定义 自行意会。 原理 找一条 \(S-T\) 的正权路径，给里面加流量。 显然是错的，但是可以再存反边，类似一种反悔的思想。其最大流量为 \(0\)。 此处的边权皆为空余流量。 实现 EK/FF 用 DFS、BFS 打暴力。 ISAP 预处理每个点到 \(T\) 的反图最短路（ 阅读全文
posted @ 2024-01-18 23:00
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定义 一个集合，有运算（埋下伏笔），集合内的东西运算后还是在集合内。 求的东西 本质不同的方案数 这个集合里元素很多，肯定不能枚举。可以理解成联通块数？（也许没什么**用） 不同带权方案权值和 不会。 Bornside 引理 \[\frac{1}{\text{置换种数}}\times(\sum_{\ 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:59
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问题 \[a^x\equiv b(mod\hspace{0.2cm}m) \]给出 \(a,b,m\)，求 \(x\)。 分析 分块，一大步为 \(s\)，则 \(a^{ks-r}\equiv b(mod\hspace{0.2cm}m)\) 即，\(a^{ks}\equiv b\times a^r( 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:58
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对于一种特征方程，可能会得到带根号的通项。如斐波那契数列。这类一般会有两个带根号的部分。 若存在二次剩余，由费马小定理，有循环 \((p-1)\)。否则： 设 \(x=a+b\times\sqrt c,y=a-b\times\sqrt c\) 模数为 \(p\)。 则 \[x^p=-y\times 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:57
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求 \(\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{M}\mu(\gcd(i,j))^2\)。 枚举 \(\gcd\)，\(\sum\limits_{d=1}^N\mu(d)^2\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac N d\rfloor} 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:56
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\[\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^M\frac{a_ia_j}{\gcd(a_i,a_j)} \]\[\sum\limits_{d=1}^\infty\frac 1 d\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^Ma_ia_j 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:56
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\[\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^M\frac{ij}{\gcd(i,j)} \]\[\sum\limits_{d=1}^N\frac 1 d\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^Mij[\gcd(i,j)=d] \]\ 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:55
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\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\gcd(i,j)^n\sum\limits_{k=1}^{ij}[i\perp k][j\perp k]k \]\[\frac12\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\gcd(i 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:55
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引入 众所周知，素数的判断在 long long 级别是不能 \(O(\sqrt{n})\) 硬上的。那怎么办呢？？ 参考文献。 ababab，先来最低效的。 以下复杂度均考虑高精。 1.试除法 \(O(\sqrt n)\) 枚举，\(n\le 10^{14}\)。 优化 只枚举质数，无法优化预处理 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:53
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线性相关 若有 \(\mathbb{a}=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，且 \(x\mathbb{a}=0\)，那么这组向量线性相关。 大致可以理解成有一些无用的方程。 一组可以表示原来所有线性组合的向量叫做一组基。 如果值域只有 \(0/1\)，那这就是异或线性基。 否则，上高消 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:53
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定义 能画在平面上没有边相交的图。（氵 对偶图：把面当作点，相邻连边。 性质 \(n\) 个点，\(m\) 条边，有 \(f\) 个面，则 \(n+f = m+2\)。 判定 不包含与 \(K_{3,3},K_5\) 同胚（不断增删 \(2\) 度点）的子图。 应用 平面图最小割等于对偶图最短路，注 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:52
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狄利克雷卷积 一种函数间的运算。假设有函数 \(f\) 和 \(g\)，\(f*g=h,h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\times g(\frac{n}{d})\)。 如果其中一个是常函数 \(1\)，则称其为狄利克雷前缀和（后缀和就是枚举倍数）。可以用高维前/后缀和 \(O( 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:51
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一种很有用的东西。体现了关键点的思想。 应用1 树上每个节点有颜色，问一个子树内有几种颜色。 对每种颜色的点集按 DFS 序排序，点所在位置权值 +1，相邻两个的 LCA 处权值 -1。子树求和即可。 正经的应用 建虚树： q[hh=0]=1; for(i){ int l=lca(a[i],q[hh 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:51
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『你若困与无风之地，我便让全世界的风吹向你』\(\hspace{2cm}\)—— 温迪 『故友的灵魂，就交给我吧』 \(\hspace{2cm}\)—— 温迪 『无念，无想』\(\hspace{2cm}\) —— 魔神任务第二章·第二幕「无念无想,泡影断灭」 『当你重新踏上旅途之后，一定要记得旅途本 阅读全文
posted @ 2024-01-18 22:37
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