数论

狄利克雷卷积

一种函数间的运算。假设有函数 \(f\) 和 \(g\)，\(f*g=h,h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\times g(\frac{n}{d})\)。

如果其中一个是常函数 \(1\)，则称其为狄利克雷前缀和（后缀和就是枚举倍数）。可以用高维前/后缀和 \(O(n\log\log n)\) 处理。

板子（前、后缀）：

for(int i=1;i<=p[0]&&p[i]<=m;++i){
		for(int j=1;j*p[i]<=m;++j){
			s[j*p[i]]+=s[j];
		}
	}

for(int i=1;i<=p[0]&&p[i]<=m;++i){
		for(int j=m/p[i];j;--j){
			s[j]+=s[j*p[i]];
		}
	}

逆

类似乘法的逆。有单位元函数 \(\mathbb\varepsilon(n)=[n=1]\) ，则两个卷起来为 \(f*g=\mathbb\varepsilon\) 的函数互逆。

求法

根据定义从小到大递推即可，注意第一项不能为 \(0\)。

反演

• \(F=f*1\)，已知 \(F\)，求 \(f\)。卷 \(1\) 的逆 \(\mu\) 即可。

作用

\(f\) 难求（如限制 \(\gcd=k\)），而 \(F\) 好求（前或后缀和），可以考虑反演。

推式子

• 改变枚举的东西，如枚举约数改为倍数。

• 多次重复出现的式子设辅助元代替（为了套整除分块）。

• 无关项提到可能的最外面，也可以设法构造无关项。

• 改变求和顺序。

• 对于奇怪的东西，不妨打表找一下规律。（\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)\times\mu(\frac n d)^2=\mu(\sqrt n)\)）。

• 有一些式子可以不急着提公因数，后面也许有用。