质数判断&质因数分解

引入

众所周知，素数的判断在 long long 级别是不能 \(O(\sqrt{n})\) 硬上的。那怎么办呢？？

参考文献。

ababab，先来最低效的。

以下复杂度均考虑高精。

1.试除法

\(O(\sqrt n)\) 枚举，\(n\le 10^{14}\)。

优化

只枚举质数，无法优化预处理质数时间。

2.Millar-Rabin

long long：\(O(k\times(\log n)^3)\)，检验 \(k\) 次，正确率至少 \(1-4^{-k}\)。

极大值域：若广义 Riemann 猜想(GRH)成立，\(O((\log n)^5)\)。

原理

\(x^2\equiv 1(mod\hspace{0.2cm}p)\) 的解有且仅有 \(\pm1\)。

加强（Fermat小定理）

\(x^{p-1}\equiv 1(mod\hspace{0.2cm}p),x\in[2,p-1]\)

同时满足以上两个的很大可能是质数。

考虑随机 \(x\) 验证，注意到任何合数一定会有底数不通过（至少 \(75\%\)）。（如果仅仅是 Fermat 小定理有 Carmichael 数的存在）。

通过前人的努力，int 范围内仅需取 \(\{2, 7, 61\}\)，long long 范围内仅需取 \(\{2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022\}\) 或 \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}\)（前 \(12\) 个质数）。

优美的实现

同时实现了以上两种判断（好优雅~~）。要写 mul 函数。

const ll bpr[]={};
inline bool miller_rabin(ll p){
	if((~p&1)||p<3) return p==2;
	ll k=__builtin_ctzll(p-1),mod=p;
	--p;p>>=k;
	for(int i=0;i<7;++i){
		ll a=ksm(bpr[i]%mod,p,mod);
		if(a==1||!a) continue;
		int j;
		for(j=1;j<=k;++j){
			if(a==mod-1) break;
			a=mul(a,a,mod);
		}
		if(j>k) return 0;
	}
	return 1;
}

3.Lucas序列

咕。

4.n-1法

• 定理1

若存在 \(ord_n(a)=n-1\)，则 \(n\) 为质数。

• 定理2

若 \(n-1=FR\)，已知 \(F\) 的所有质因子 \(q\)，且有:

\[\begin{cases} a^{n-1}\equiv1(mod\hspace{0.3cm}n)\\ \gcd(a^{(n-1)/q}-1,n)=1 \end{cases} \]

若 \(F>n^{\frac{1}{4}+\epsilon}\)，则 \(n\) 为质数。

只有已知 \(q\) 才行！

n+1 法

咕。

剩下的不管了。

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质因数分解（Pollard-Rho）

基本思想

随机出 \(n\) 的一个非平凡因数（\(\in[2,n-1]\)），递归处理。

优化以下，设计一个能取到所有值的不那么随机的随机函数 \(f(x)=(x^2+c)\%n\)

它的图像是 \(\rho\) 型。

根据生日悖论，这里数量小于 \(minp^{\frac{1}{2}}\) 即 \(n^{\frac{1}{4}}\)。

若 \(x_i\equiv x_j\)，则 \(f(x_i)\equiv f(x_j)\)。

即 \(x_{i+k}\equiv x_{j+k}\)。

只要枚举所有 \(k\) 就好了。

这里很简略，代码更草率。

码1，定点前跳

vector<ll>pr;
inline void pollard_rho(ll n){
	if(n==1) return ;
	if(miller_rabin(n)) return (void)pr.push_back(n);
	ll sq=sqrt(n);
	if(sq*sq==n) return (void)pollard_rho(sq),pollard_rho(sq);
	ll x0=mr()%(n-1)+1,x1=x0,c=mr()%(n-1)+1,d=1,td;
	for(int T=1;d==1||d==n;T<<=1){
		if(!T) x0=mr()%(n-1)+1,x1=x0,c=mr()%(n-1)+1,T=1;
		d=1;
		x1=x0;
		for(int i=1;i<=T;++i){
			x0=ne(x0,c,n);
			if(x0==x1){
				T=0;
				break;
			}
			td=mul(d,abs(x1-x0),n);
			if(td) d=td;
			if(!(i&127)){
				d=gcd(n,d);
				if(d>1) break;
			}
		}
		d=gcd(n,d);
	}
	pollard_rho(d),pollard_rho(n/d);
}

码2，快慢指针

vector<ll>pr;
inline void pollard_rho(ll n){
	if(n==1) return ;
	if(miller_rabin(n)) return (void)pr.push_back(n);
	ll sq=sqrt(n);
	if(sq*sq==n) return (void)pollard_rho(sq),pollard_rho(sq);
	ll x0=mr()%(n-1)+1,x1=x0,c=mr()%(n-1)+1,d=1,td;
	for(int T=1;d==1||d==n;T<<=1){
		if(!T) x0=mr()%(n-1)+1,x1=x0,c=mr()%(n-1)+1,T=1;
		d=1;
		x1=x0;
		for(int i=1;i<=T;++i){
			x0=ne(x0,c,n),x1=ne(ne(x1,c,n),c,n);
			if(x0==x1){
				T=0;
				break;
			}
			td=mul(d,abs(x1-x0),n);
			if(td) d=td;
			if(!(i&127)){
				d=gcd(n,d);
				if(d>1) break;
			}
		}
		d=gcd(n,d);
	}
	pollard_rho(d),pollard_rho(n/d);
}

细节

• 优化 \(\gcd\)，分块+倍增乘起来搞。

• 特判平方数（仅仅加速）。

• Miller-Rabin 特判 n<=3||n%2==0。