摘要： $\bf命题2：$设$A$，$B$均为实对称半正定阵，则$A$，$B$可同时合同对角化证明：由$A,B$半正定知$A+B$半正定，则存在可逆阵$P$，使得\[{P^T}\left( {A + B} \right)P = diag\left( {{E_r},0} \right)\]设\[{P^T}AP... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$A$为正定阵，$B$为实对称阵，则$A$，$B$可同时合同对角化证明：由$A$正定知，存在可逆阵$P$，使得\[{P^T}AP = E\]由$B$实对称知${P^T}BP$实对称，则存在正交阵$Q$，使得\[{Q^T}{P^T}BPQ = diag\left( {{\lambd... 阅读全文

摘要： $\bf命题2：$设实对称阵$A$的最大特征值等于$x'Ax$的最大值，其中$x$取${R^n}$中的单位向量方法一：由$A$实对称知，存在正交阵$Q$，使得\[A = Q'diag\left( {{\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}} \right)Q\]其中${{... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$A$，$B$均为实对称半正定阵，则$tr\left( {AB} \right) \le tr\left( A \right) \cdot tr\left( B \right)$证明：由$A$实对称知，存在正交阵$Q$，使得\[A = Qdiag\left( {{\lambda ... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$\alpha $,$\beta $为实$n$维非零列向量，求$\alpha \beta '{\rm{ + }}\beta \alpha '$的正负惯性指数方法一：由$\alpha $是非零列向量知，存在可逆阵$P$，使得\[P\alpha = {\left( {1,0, \cd... 阅读全文

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摘要： $\bf命题2:$任意方阵$A$均可分解为可逆阵$B$与对称阵$C$之积证明：设$r\left( A \right) = r$，则存在可逆阵$P,Q$，使得\[A = P\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{E_r}}&0\\0&0\end{array}} \right)... 阅读全文

摘要： $\bf命题1:$任意方阵$A$均可分解为可逆阵$B$与幂等阵$C$之积证明：设$r\left( A \right) = r$，则存在可逆阵$P,Q$，使得\[PAQ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{E_r}}&0\\0&0\end{array}} \right... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$A,B$实对称且$A$正定，则$AB$相似于对角阵方法一：由$A$正定知，存在正定阵$C$，使得$A = {C^2}$，于是\[AB = {C^2}B = C\left( {CBC} \right){C^{ - 1}}\]由$C$实对称知$CBC$实对称，则存在正交阵$Q$，使... 阅读全文

摘要： $\bf命题：$设$A \in {M_{m \times n}}\left( F \right),B \in {M_{n \times m}}\left( F \right),m \ge n,\lambda \ne 0$，则\[{\rm{ }}\left| {\lambda {E_m} - AB} ... 阅读全文