摘要： $\bf命题1：$设$\int_a^{ + \infty } {f\left( x \right)dx} $收敛，若$\lim \limits_{x \to \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{ + }}\infty } \end{array}} f\left( x \rig... 阅读全文

摘要： $\bf命题2：$设$f\left( x \right) \in C\left( { - \infty , + \infty } \right)$，令\[{f_n}\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\frac{1}{n}} f\left(... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$f\left( x \right) \in {C^1}\left( { - \infty , + \infty } \right)$，令\[{f_n}\left( x \right) = n\left[ {f\left( {x + \frac{1}{n}} \right) - ... 阅读全文

摘要： $\bf命题2：$设正项级数$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $收敛，则存在发散到正无穷大的数列$\left\{ {{b_n}} \right\}$，使得级数$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}{b_n}} $仍收敛证明：令${r... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设正项级数$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $发散，且${s_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} $，试讨论级数$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{{s_n... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$$（\bf{Bendixon判别法}）$设$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}\left( x \right)} $为$\left[ {a,b} \right]$上的可微函数项级数，且$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$f(x)$是$\left[ {1, + \infty } \right)$上的非负单调减少函数，令\[{a_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {f\left( k \right)} - \int_1^n {f\left( x \right)dx} ,n \i... 阅读全文

摘要： $\bf命题：$设实二次型\[f\left( {{x_1}, \cdots ,{x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{a_{i1}}{x_1} + \cdots + {a_{in}}{x_n}} \right)}^2}} \]证明二次型的... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$$n$阶实对称阵$A$的第一行乘以一个正数不改变其正特征值的个数证明：设$B = diag\left( {k,{E_{n - 1}}} \right)A$，其中$k > 0$，则\[\begin{array}{l}diag\left( {\frac{1}{{\sqrt k }},{... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$A,B \in {M_n}\left( F\right)$且矩阵$A$各特征值互异，若$AB=BA$，则$(1)$$A,B$可同时相似对角化$(2)$$A,B$有公共的特征向量$(3)$存在唯一的次数不超过$n-1$的多项式$f\left( x \right) \in F\le... 阅读全文

摘要： $\bf命题3：$设$A$实对称正定，$B$实对称半正定，则$tr\left( {B{A^{ - 1}}} \right)tr\left( A \right) \ge tr\left( B \right)$方法一：同时合同对角化由题可知，存在可逆阵$R$，使得\[R'AR = E，R'BR = di... 阅读全文

摘要： $\bf命题2：$设$A$，$B$均为实对称半正定阵，则$A$，$B$可同时合同对角化证明：由$A,B$半正定知$A+B$半正定，则存在可逆阵$P$，使得\[{P^T}\left( {A + B} \right)P = diag\left( {{E_r},0} \right)\]设\[{P^T}AP... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$A$为正定阵，$B$为实对称阵，则$A$，$B$可同时合同对角化证明：由$A$正定知，存在可逆阵$P$，使得\[{P^T}AP = E\]由$B$实对称知${P^T}BP$实对称，则存在正交阵$Q$，使得\[{Q^T}{P^T}BPQ = diag\left( {{\lambd... 阅读全文

摘要： $\bf命题2：$设实对称阵$A$的最大特征值等于$x'Ax$的最大值，其中$x$取${R^n}$中的单位向量方法一：由$A$实对称知，存在正交阵$Q$，使得\[A = Q'diag\left( {{\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}} \right)Q\]其中${{... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$A$，$B$均为实对称半正定阵，则$tr\left( {AB} \right) \le tr\left( A \right) \cdot tr\left( B \right)$证明：由$A$实对称知，存在正交阵$Q$，使得\[A = Qdiag\left( {{\lambda ... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$\alpha $,$\beta $为实$n$维非零列向量，求$\alpha \beta '{\rm{ + }}\beta \alpha '$的正负惯性指数方法一：由$\alpha $是非零列向量知，存在可逆阵$P$，使得\[P\alpha = {\left( {1,0, \cd... 阅读全文

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摘要： $\bf命题2:$任意方阵$A$均可分解为可逆阵$B$与对称阵$C$之积证明：设$r\left( A \right) = r$，则存在可逆阵$P,Q$，使得\[A = P\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{E_r}}&0\\0&0\end{array}} \right)... 阅读全文

摘要： $\bf命题1:$任意方阵$A$均可分解为可逆阵$B$与幂等阵$C$之积证明：设$r\left( A \right) = r$，则存在可逆阵$P,Q$，使得\[PAQ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{E_r}}&0\\0&0\end{array}} \right... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$A,B$实对称且$A$正定，则$AB$相似于对角阵方法一：由$A$正定知，存在正定阵$C$，使得$A = {C^2}$，于是\[AB = {C^2}B = C\left( {CBC} \right){C^{ - 1}}\]由$C$实对称知$CBC$实对称，则存在正交阵$Q$，使... 阅读全文

摘要： $\bf命题：$设$A \in {M_{m \times n}}\left( F \right),B \in {M_{n \times m}}\left( F \right),m \ge n,\lambda \ne 0$，则\[{\rm{ }}\left| {\lambda {E_m} - AB} ... 阅读全文

摘要： $\bf命题：$设$A \in {M_{m \times n}}\left( F \right),B \in {M_{n \times m}}\left( F \right),m \ge n,\lambda \ne 0$，则\[{\rm{ }}\left| {\lambda {E_m} - AB} ... 阅读全文

摘要： $\bf命题：$设$A$为$n$阶实对称阵，$\alpha $为$n$维实向量，$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&\alpha \\{{\alpha ^T}}&1\end{array}} \right)$为正定阵，证明：$A$正定且${\alpha ^T}{A^{ ... 阅读全文

摘要： $\bf命题2：$设$f\left( x \right)$在$\left( {0,1} \right)$上单调,且无界广义积分$\int_0^1 {f\left( x \right)dx} $收敛,则\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f\... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$任何实数都是某个有理数列的极限证明：设$A$为实数,若$A$为有理数,则令\[{a_n} = A,n \in {N_ + }\]即可,若$A$为无理数,则令\[{a_n} = \frac{{\left[ {nA} \right]}}{n},n \in {N_ + }\]其中${\l... 阅读全文

摘要： $\bf命题1：$设$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加的数列,则$\lim \limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {Sup}\limits_{k \ge 1} \left\{ {{a_k}} \right\}$证明：记\[M = ... 阅读全文