古典密码学

置换密码

前置知识为置换群https://www.cnblogs.com/luminescence/p/18591274
有限集合\(S\)上的一一对应映射
\(p = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ 3 & 1 & 5 & 4 & 2 \end{pmatrix}\)
简写为 \(p = (31542)\)
逆置换 输出变输入，按列调整第一行为自然顺序
\(p^{-1} = (25143)\)
对置换密码的攻击：穷举法，寻找有意义的排列

代替密码

单表代替

凯撒密码

将字符移动固定值，使用模运算实现

def encryptmessage(message, shift = 3):
    charset = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz0123456789!@#$%^&*()-_=+[]{}|;:',.<>?/"
    encrypted = ''
    
    for char in message:
        if char in charset:
            idx = charset.index(char)
            new_idx = (idx + shift) % len(charset)
            encrypted += charset[new_idx]
        else:
            encrypted += char  # 非字符集内的字符保持不变
    
    return encrypted

def decryptmessage(encryptedmessage, shift = 3):
    return encryptmessage(encryptedmessage, -shift)

仿射变换密码

\(X=Y=Z_q,k = \{(k_1,k_2)|k_1 \in Z_q,k_2 \in Z_q^*\},m\in X, k = (k_1,K_2)\in K\)
\(c = E_k(m) = (k_1 + k_2m)mod q\)
\(m = k_2^{-1}(c-k_1)modq\)
密钥量为\(q\varphi (q)\)
此处\(k_2\in Z_q^*\) 参考密码学数学基础中关于群环域的知识
特别的
\(k_2 = 0\)时称为加法密码，密钥量为\(q\)
\(k_1 = 0\)时称为乘法密码，密钥量为\(\varphi (q)\)

对单表代替密码的攻击

明密异同规律:英文字母的字母出现频率不同，而加密后不改变符号的频率特征
截获一定数量密文，统计各个字母出现频次
将出现频次高的密文字母，猜测为明文字母e,t,r等
根据字母组合、单词意义等信息进一步破解

字典密码

汉字进行加密

多表代替

多个明密文对照表

viginere密码

\(X^n = Y^n = Z^n, \quad m = (m_1, m_2, \ldots, m_n) \in X^n\)

\(K = \left\{ \langle k_{11}, k_{21} \rangle, \langle k_{12}, k_{22} \rangle, \cdots, \langle k_{1n}, k_{2n} \rangle \right\rangle \mid k_{ij} \in Z_q, k_{2i} \in Z_q^*, 1 \leq i \leq n \},\)

\(k = (\langle k_{11}, k_{21} \rangle, \langle k_{12}, k_{22} \rangle, \cdots, \langle k_{1n}, k_{2n} \rangle) \in K\)

\(c = E_k(m) = (k_{11} + k_{21}m_1, k_{12} + k_{22}m_2, \cdots, k_{1n} + k_{2n}m_n),\)

运算都是模 \(q\) 运算，密钥量 \(q^{n}\varphi(q)^n\)

对多表密码的破解

重合指数
\(I_c(x) = \frac{\sum_{i=0}^{25} \binom{f_i}{2}}{\binom{n}{2}} = \frac{\sum_{i=0}^{25} f_i(f_i - 1)}{n(n-1)} \approx \sum_{i=0}^{25} \left(\frac{f_i}{n}\right)^2\)
\(f_i\)为字母 \(i\) 在 \(x\)中出现的次数
有意义时：符合英文的字母出现频率
\(I_c(x) = 0.065\) 为单表代替
随机时：\(I_c(x) = 0.038\) 为多表代替
可以通过重合指数精确确定密钥长度
或者通过相同密文片段的距离最大公因子粗略确定密钥长度

从艺术到科学

1949年，香农发表文章'Communication Theory of Secrecy Systems'标志着密码学的正式诞生

One Time Pad

一次一密是理论上的无条件安全的加密
1）密钥与明文一样长
2）密钥必须是真随机的
3）密钥只能对一个密文进行加密
但只具有理论价值，因为在实际中：
（1）难以做到密钥与明文一样长
（3）真随机的密钥难以实现
（4）每次更换密钥，效率太低
加密算法的安全分为两种
理论安全：不泄漏任何信息，不依赖敌手的计算能力。
计算安全：计算上困难的，依赖于敌手的计算能力。
可通过以下手段达到计算安全性：
扩散(diffusion)：明文与密文的关系尽量混乱；
混淆(confusion)：密钥与密文之间的关系尽量混乱。
实际中：
置换（P盒）实现扩散；
代替（S盒）实现混淆。
二者乘积并多次迭代可达到足够的安全性
通过模仿一次一密，形成了序列密码（流密码）
通过扩散和混淆，形成了分组密码

进入现代密码学，加密不再局限于字母，而采用二进制串表示明密文，并采用计算机程序实现

密码学数学基础部分：
群环域：https://www.cnblogs.com/luminescence/category/2434978.html
初等数论：https://www.cnblogs.com/luminescence/category/2434979.html