连续时间信号的频域分析

目录

• 理解标题
• 从级数开始
  • Fourier级数
    • 级数的表示范围
    • 周期信号的fourier级数
    • fourier级数与信号的对称性
• Fourier从级数到变换
  • Fourier变换
    • 频谱与频谱密度
    • 傅里叶变换的性质
    • 频域卷积
• 最后一步

理解标题

• 连续时间信号

flowchart LR A[信号] -->B(连续信号) A --> C(离散信号) B --> D(连续周期信号) B --> E(连续脉冲信号) C --> F(离散周期信号) C --> G(离散脉冲信号)

• 频域分析

flowchart LR A[信号分析] --> B(时域 t) A[信号分析] --> C(频域 jw) A[信号分析] --> D(复频域 s)

从级数开始

在复变函数这篇里我提到类比高等数学中实数的级数，不知道读者有没有想到实数域中不止由泰勒级数，还缺了著名的傅里叶级数。而在复变函数中我们却只做连续的积分变换，没有讲负数域内的傅里叶级数。这是一点衔接上的遗憾，但是现在我们仍然不得不从先从复数的fourier级数开始

Fourier级数

级数的表示范围

• 从能量角度，我们给出能量条件：周期能量有限信号可以用傅里叶级数表示
• 从数学角度，也是就是高数中学到的狄里赫利条件：绝对可积；有限极值；有限不连续

周期信号的fourier级数

将周期信号分解为

• 三角信号形式
• 复指数信号形式

为啥能分解成他们呢——三角函数集的正交性
三角形式变为复指数形式时候会产生-j项（详见cos(z)），这是傅里叶频谱相位谱双边的原因

fourier级数与信号的对称性

• 偶函数
  三角形式中没有sin项
  信号复振幅为实数，相位为0或\(\pi\)
• 奇函数
  三角没有cos和直流
  虚数振幅，相位为\(\frac{\pi}{2}\)或\(-\frac{\pi}{2}\)
• 半波像对称
  奇谐函数，频谱中只有奇次谐波
• 半波对称

利用fourier级数将周期信号成功变到时域，得到幅度谱，相位谱，功率谱等特征，那么非周期信号该如何进行频谱分析呢

Fourier从级数到变换

高数中我们处理过将非周期的单脉冲进行周期延拓变成周期信号，现在我们换个方向，将周期信号转换成非周期信号：
让周期趋于无穷大，得到“伪级数”

Fourier变换

这里我们要回头看一看傅里叶级数的原始形式

\[x(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty}X_n e^{jnw_0t} \]

复振幅为

\[X_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } x(t)e^{-jnw_0t}\mathrm{d}t \]

这时候有一个很妙的数学变换，

\[T\times X_n=\frac{2\pi X_n}{w_0} =\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } x(t)e^{-jnw_0t}\mathrm{d}t \]

这时候求T趋于\(\infty\)的极限，这个式子就变成了不同价无穷小的比值，变成了频谱密度函数\(X(jw)\)
我们看下面这个例子
这是周期矩形脉冲的fourier级数（离散谱），T趋于无穷大，谱线间隔无限小，变为单矩形脉冲的频谱密度

频谱与频谱密度

我自己是觉得这个很难区分，但是可以打个比方
想象一下，你手里有一笔钱，要分给一群人。
第一种情况： 你有1000元，要分给10个人，每人100元。这就好比功率有限的信号——周期信号。
每个人拿到手的钱是实实在在的 “幅度” ，这就对应着频谱。频谱描述的是：在某个具体的频率点上，有多少功率。比如一个方波信号，它的频谱就是一根根离散的谱线。在基频处，幅度是某个值；在谐波处，幅度是另一个值。每一根谱线都代表这个频率分量有实实在在的功率。
第二种情况： 现在钱变了。你不再分一笔固定的钱，而是在一条无限长的路上撒钱——每米撒一点，没有尽头。这时我问你：“站在某一个坐标点上，你拿到了多少钱？” 这个问题其实没有意义，因为一个点的宽度是0，你拿到的钱也是0。有意义的是：单位长度内有多少钱，也就是密度。这就是频谱密度
他们都是对能量的衡量。这就是从帕塞瓦尔定理。

傅里叶变换的性质

这个真的是考试必考点了，无需多言。

• 时移
• 频移
• 尺度变换
  这里有一个点，
  时域压缩->信号变快a倍->信号包括的频率成分增加a倍->频域扩宽a倍，根据能量守恒，各频率分量减小a倍。
  接着，x(0)和X(0)还有某种数学上的关系

\[X(0)=x(0)\tau \]

\[x(0)=X(0)B_w\frac{1}{2\pi} \]

所以得到了$$B_W=\frac{2\pi}{\tau}$$
这就是等效脉宽与等效带宽成反比

• 微分
• 积分$$\int_{-\infty }^{t}x(\tau){d}\tau <->\frac{X(jw)}{jw} +\pi X(0)\delta (w)$$
• 时域卷积
• 频域卷积
• 对偶
• 帕塞瓦尔定理
• 奇偶虚实性

时域信号特性	频域特性	频域实部	频域虚部
实偶信号	实偶函数	偶、实	0
实奇信号	虚奇函数	0	奇、虚
一般实信号	共轭对称	偶函数	奇函数
一般虚信号	共轭对称	奇函数	偶函数

频域卷积

之所以单独拎出卷积定理是为了聊另一个东西调制

这里的频谱搬移就是AM调制

最后一步

做频域分析的时候，如果周期信号做fourier级数，非周期信号做fourier变换，那么这无疑是不方便的，那么最后一步，实现周期信号的傅里叶变换
要实现这一步，就是要抛弃傅里叶变换绝对可积的苛责。有一个异类，冲激函数\(\delta(t)\)。
因为1<->\(\delta(w)\),根据频域特性，\(cosw_0t\)和\(sinw_0t\)就可以用冲击函数表示出来

\[cosw_0t <-> \pi\delta(w+w_0)+\pi\delta(w-w_0) \]

下一步

\[e^{jw_0t}<-> 2\pi\delta(w-w_0) \]

所以得到

\[X(jw)=2\pi \sum_{-\infty }^{\infty} X_n\delta(w-w_0) \]

其中\(X_n=\frac{X_0(jw)|_{w=w_0}}{T}\)\(X_0\)为一个周期信号的傅里叶变换（对应非周期信号）
下面是一个例子
其实这很像高数对非周期函数的处理——周期延拓

至此，将连续信号成功转换到频域内，本节完成