复变函数与积分变换（1）

目录

• 第一章第二章
  • 认识复数
  • 复变函数的连续，导数和解析
  • 初等复变函数

第一章第二章

认识复数

1. 三种表示
   • 代数表达式
     $$Z=x+yi$$
   • 指数表达式
     $$Z=r{e}^{\theta i}$$
   • 三角表达式
     $$Z=r(cos\theta +isin\theta )$$
2. 复数运算
   • 乘幂 DeMoivre公式
   • 方根 辐角主值和辐角
     
     

复变函数的连续，导数和解析

1. z = x + yi -> f(z) = u + vi;
2. 定义域：单连通，多联通域;
3. 连续：

• 存在极限值且函数值等于极限值
• 连续的证明

4. 可导的证明
   • 定义证明 -> 证明某点可导与不可导
   • 特殊路径逼近 -> 二元化一元 -> 证明不可导
     • y = kx
     • y = y0 ； x = x0 ;分别逼近
   • 偏导数连续（可微） + C-R条件 -> 证明可导与不可导 -> 得出导函数
     $$f^{\prime }(z)=\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}+i\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}$$
     • CR条件$$两边相等，中间相反:\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}，\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}，\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}，\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}$$
5. 解析的证明 ：可导 -> 解析
   
   

初等复变函数

• 连续性
• 解析性
• 周期性

1. 指数函数$$w=e^z$$

   • 复平面上处处连续，处处解析
   • 以2Πi为周期的周期函数
   • 不等于0，但无法与零比较大小
   • 具备共轭性质

2. 三角函数
   $$\sin z=\frac{（e^{iz}-e^{-iz}）}{2i}$$
   $$\cos z=\frac{（e^{iz}+e^{-iz}）}{2}$$

   • 奇偶性，三角恒等式仍然成立，零点不变
   • 以2Π为周期的周期函数
   • 不具有有界性，平方不具有非负性
   • 具备共轭性质

3. 对数函数$$w=Lnz=ln|z|+iArgz$$

   • 在除原点及负实轴外的复平面处处连续，处处解析
   • 多值函数，分支相差2Πi，各分支拥有相同的导数值

4. 幂函数$$w=e^{\alpha Lnz}=e^{\alpha (ln|z|+iArgz)}$$

   • 一般情况下是多值函数
   • 在除原点及负实轴外的复平面处处连续，处处解析