复变函数与积分变换（3）

目录

• 第四章 级数
  • 复数序列
    • 复数级数的收敛
      • 判定序列的敛散性
    • 常数项级数
  • 复变函数项级数（幂级数）

第四章 级数

复数序列

• 复数序列的极限： 分别求实部和虚部的极限
• 收敛：复数级数的审敛法

复数级数的收敛

类比实数域内级数的学习

判定序列的敛散性

• 绝对收敛->条件收敛
• 实部虚部序列都收敛

常数项级数

1. 正项级数
   • 收敛的定义 ：和函数的极限为S
   • 实部和虚部都收敛 -> 复数收敛 -> 极限为0
2. 交错级数 Leibniz审敛: 单调递减，极限为0
   • 审敛法
     • 比值审敛法
     • 根值审敛法
     • 绝对收敛 -> 线性性质
     • 条件收敛

复变函数项级数（幂级数）

1. 收敛圆与收敛半径： Abel定理

2. 常见的幂级数与展开
   

3. 泰勒级数： f(z)在解析圆域D内的展开
   $$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}Cn(z-z0)n，其中Cn=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C^{}\frac{f(z)}{(z-z0{)}^{n+1}}dz$$

4. 洛朗级数： f(z)在解析圆环域D内的展开
   $$f(z)=\sum _{n=\mathrm{-\infty }}^{\mathrm{+\infty }}Cn(z-z0)n，其中Cn=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C^{}\frac{f(z)}{(z-z0{)}^{n+1}}dz$$