摘要：
极限运算的法则 — 详细讲解 1) 什么是极限（直观 + 精确定义） 直观： 当自变量 (\(x\)) 趋近 某一点（或无限大）时，函数 (\(f(x)\)) 趋近某个确定的值 (\(L\))。 \(\varepsilon-\delta\) 定义（函数极限）： 我们说 \[\lim_{x\to a} 阅读全文
posted @ 2025-10-08 11:17
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摘要：
ctex 宏包是为处理中文 LaTeX 文档而设计的宏包，它极大地简化了中文排版所需的各种复杂配置。使用 ctex，你可以告别繁琐的字体和编码设置，轻松地排版出高质量的中文文档。 以下是 ctex 宏包的基本用法和一些常用功能。 1. 文档类型：ctexart、ctexrep 和 ctexbook 阅读全文
posted @ 2025-09-08 16:14
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摘要：
要使用 XeLaTeX，你首先需要安装一个包含 XeTeX 引擎的 TeX 发行版，比如 TeX Live。然后，你可以在任何文本编辑器中编写 LaTeX 文件，并使用 XeLaTeX 编译器来处理它。 1. 编写 .tex 源文件 和普通的 LaTeX 一样，你需要创建一个 .tex 文件。你可以 阅读全文
posted @ 2025-09-08 16:06
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LaTeX 和 XeLaTeX 都是用于排版和生成高质量文档的工具，但它们之间存在重要的关系和区别。简单来说： LaTeX 是一个基于 TeX 引擎的宏包（或称为排版系统）。 XeLaTeX 是一个更现代的 TeX 引擎，它完全兼容 LaTeX 语法，但提供了更多现代化的功能。 你可以把它们的关系理 阅读全文
posted @ 2025-09-08 15:58
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这是梯度的核心，梯度向量指向函数值增长最快的方向。 1. 概念回顾：方向导数 首先，我们需要理解方向导数。方向导数衡量的是函数在特定方向上的变化率。 对于一个多元函数 \(f(\mathbf{x})\)，我们想知道它在点 \(\mathbf{x}\) 沿着一个单位向量 \(\mathbf{u}\)（ 阅读全文
posted @ 2025-09-08 14:34
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余弦定理（Law of Cosines）是直角三角形勾股定理的推广，它描述了任意一个平面三角形中，三条边长与其中一个角的余弦值之间的关系。 对于任意三角形 \(\triangle ABC\)，其三条边分别为 \(a, b, c\)，所对的角分别为 \(A, B, C\)，余弦定理有以下三种形式： \ 阅读全文
posted @ 2025-09-08 13:58
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向量点积的几何定义 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\) 可以从它的代数定义 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum a_i b_i\) 严格推导出来。最直观的证明方 阅读全文
posted @ 2025-09-08 13:36
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方向导数的计算公式 方向导数 \(D_\mathbf{u}f(\mathbf{x})\) 衡量了函数 \(f\) 在点 \(\mathbf{x}\) 处沿单位向量 \(\mathbf{u}\) 方向的变化率。要证明 \(D_\mathbf{u}f(\mathbf{x}) = \nabla f(\ma 阅读全文
posted @ 2025-09-08 11:19
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仿射函数的定义 仿射函数是数学中的一个基本概念，是线性函数的一种推广。如果一个函数可以表示为一个线性函数和一个常向量的和，则这个函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 被称为仿射函数（affine function），。 用数学公式表达就是： \(f(x) = 阅读全文
posted @ 2025-09-07 22:45
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一个几何对象的凸性是其最基本的性质之一，它在数学、物理、经济学等多个领域都有重要的应用。要理解凸集，我们可以从它的定义开始。 凸集的定义 凸集 (Convex Set) 的定义 简单来说，一个集合 \(S\) 是凸集，如果对于集合 \(S\) 中的任意两点 \(x\) 和 \(y\)，连接这两点的线 阅读全文
posted @ 2025-09-07 21:59
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