向量点积的几何定义的证明

向量点积的几何定义 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\) 可以从它的代数定义 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum a_i b_i\) 严格推导出来。最直观的证明方法是使用余弦定理。

为了简化证明，我们使用二维向量作为例子，但这个原理可以推广到任意维度的空间。

证明过程

假设有两个二维向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2)\) 和 $ \mathbf{b} = (b_1, b_2) $。它们在坐标系中的位置，以及它们和原点 \(O\) 构成了一个三角形 \(OAB\)，其中 \(A\) 是向量 \(\mathbf{a}\) 的终点， \(B\) 是向量 \(\mathbf{b}\) 的终点。

• 向量 \(\mathbf{a}\) 的模：$ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $
• 向量 \(\mathbf{b}\) 的模：$ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} $

连接向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 终点的向量是 $ \overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} $。它的分量是 $ (b_1-a_1, b_2-a_2) $。

• 向量 \(\mathbf{b} - \mathbf{a}\) 的模：$ |\mathbf{b} - \mathbf{a}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2} $

---

应用余弦定理

在三角形 \(OAB\) 中，我们有三条边：\(OA\) (\(|\mathbf{a}|\)), \(OB\) (\(|\mathbf{b}|\)), 和 \(AB\) (\(|\mathbf{b} - \mathbf{a}|\))。
根据余弦定理，我们知道：

\[|\mathbf{b} - \mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta \]

其中 \(\theta\) 是向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 之间的夹角。

现在，我们用向量分量的形式来展开这个等式，并证明它与代数定义等价。

1. 展开等式左侧：$ |\mathbf{b} - \mathbf{a}|^2 $

   \[|\mathbf{b} - \mathbf{a}|^2 = (b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 \]
   \[= (b_1^2 - 2a_1b_1 + a_1^2) + (b_2^2 - 2a_2b_2 + a_2^2) \]
   \[= (a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) - 2(a_1b_1 + a_2b_2) \]

2. 用向量模替换分量：
   我们知道 \(|\mathbf{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2\) 和 $ |\mathbf{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2 $。
   将这些代入上面的展开式：

   \[|\mathbf{b} - \mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2) \]

3. 比较两个表达式：
   现在我们有两个关于 \(|\mathbf{b} - \mathbf{a}|^2\) 的等式：

   • 来自余弦定理：$ |\mathbf{b} - \mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta $
   • 来自代数展开：$ |\mathbf{b} - \mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2) $

   由于这两个表达式都等于同一个量，它们必须相等：

   \[|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2) \]

4. 化简得到最终结果：
   等式两边同时减去 \(|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2\) 并除以 $ -2 $：

   \[|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 \]

   根据向量点积的代数定义，等式右侧就是 $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $。

   因此，我们证明了：

   \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta \]

这个证明表明，几何定义和代数定义是完全等价的。在实际应用中，我们通常使用代数定义来计算点积，然后利用几何定义来解释其物理或几何意义。