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摘要： 题意：对于一个使用十六进制读入的 $01$ 矩阵，求其中 $1$ 的连通块个数，空间限制 16MB 。$n\le 2^{12},m\le2^{14}$ 我们认为如何读入是比较基础的内容，不作过多的介绍，具体请看代码。 离线下来怎么做 首先，如果不考虑空间限制，这题是比较简单的。我们可以直接在图上 D 阅读全文

摘要： 我们考虑 $\sum_{i=l}^r{f_i(x)}$ 是个什么东西。首先这个奇怪的东西很好离线做，所以尽管题目要求强制在线，我们还是离线下来试试。 我们发现，我们可以 $x$ 坐标从 $1$ 到 $200000$ 扫过去，对于每个 $f_i$，在 $x_{i,1}+1$ 和 $x_{i,2}+1$ 阅读全文

摘要： 首先，我们发现这道题目“序列会增长”的情况完全就是唬人的，因为我们把 $x_i$ 输入之后，$y_i$ 永远是 $0$，而前导 $0$ 在计算的过程中没有任何的作用。所以可以直接原地做前缀和。 我们还发现，除了序列 $A^0$，其他的序列都是递增的（$A^i_j-A^i_{j-1}=A^{i-1}_ 阅读全文

摘要： 数据范围 $5\cdot 10^3$，但是介绍一个 $O(n\log n)$ 做法。 我们考虑观察样例，发现样例都很小，而且 $\text{LCS}$ 的长度都是 $1$，那么我们就猜答案最多为 $1$，并尝试去构造。 我们画一个链，发现链上的统配解就是倒过来。那么我们考虑普通的树，我们发现，普通的 阅读全文

摘要： 组合计数问题是组合数学中重要的最古典的分支。有人将组合计数问题归为 $12$ 个集合映射问题。但是其中有 $2$ 个是平凡的，所以我们只研究 $10$ 个。 十二重计数法 在数学上，严谨的定义是“从一个集合对另一个集合的映射的个数”。但是我们可以用更简单的方法定义它：把 $n$ 个苹果装进 $m$ 阅读全文

摘要： 组合数学的严格定义是非常困难的，其设计的内容广泛，分类困难，体系性较弱。不过，我们可以把组合数学按照问题、工具、对象三种方法进行分类，例如图论，就是按照研究对象分出的内容。 而别的分支，例如代数组合学，就是对一系列的代数对象，如生成函数、反演等进行研究。 我们认为最科学的分类方法是根据组合数学所解决 阅读全文

摘要： 欧拉五边形定理的内容： $$\prod_{n\ge 1}{(1-x^n)}=\sum_{n\ge 0}{(-1)^n x^{n(3n\pm 1)/2}}$$ 我们来介绍高斯的证法 考虑下面这个无穷积 $$F(z)=(1+x^1z)(1+x^1z^{-1})(1+x^3z)(1+x^3z^{-1})\ 阅读全文

摘要： 现在我们考虑有一个序列 $(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots)$。我们将这个序列作为形式幂级数 $A(x)=\sum_{n\ge0}{a_{n} x^n}$ 的常数项序列。$A(x)$ 就是序列 ${a_i}$ 的生成函数。在生成函数中，类似形式幂级数，$x$ 的具体取值是 阅读全文

摘要： 欧拉五边形定理的内容： $$\prod_{n\ge 1}{(1-x^n)}=\sum_{n\ge 0}{(-1)^n x^{n(3n\pm 1)/2}}$$ 我们介绍欧拉的证明方法。 $$(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)=(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{ 阅读全文