高等代数笔记：向量组、矩阵的秩

目录

• 极大线性无关组
  • 极大线性无关组的定义
  • 重要性质
• 向量组的秩
  • 秩的定义
  • 判断秩大小关系
  • 线性无关组与秩
• 矩阵的秩
  • 行秩与列秩的定义
  • 行秩与列秩的关系
  • 初等行列变换与行秩、列秩
  • 矩阵的秩的定义
  • 初代行列变换与矩阵的秩
  • 矩阵的秩与子式

极大线性无关组

极大线性无关组的定义

由前面文章高等代数笔记：线性相关与线性无关向量组知，

线性方程组\(x_1\bm{α_1}+...+x_n\bm{α_n}=\bm{β}\) 有解 充要条件：\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性表出.

1）如果\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性无关，那么\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性表出充要条件：\(\bm{α_1},...,\bm{α_n},\bm{β}\)线性相关.

2）但如果\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性相关，如何判断\(\bm{β}\)是否能由\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性表出？

自然想法：从\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)中取出部分组线性无关. 希望该部分组包含足够多向量，从其余向量任取1个添加得到新部分组变成线性相关.

于是，引出“向量组的极大线性无关组”概念.

\(\implies\) \(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性表出 \(\iff\)\(\bm{β}\)可由其极大线性无关组线性表出

极大线性无关组：

定义1 向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，这个部分组线性无关，但从向量组的的其余向量（如果还有）中任取一个添加进去，得到新的部分组线性相关.

向量组的等价关系：

定义2 如果向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)的每个向量都能由向量组\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)线性表出，那么称\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)可由\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)线性表出. 如果\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)与\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)可相互线性表出，那么称\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)与\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)等价，记

\[{\bm{α_1},...,\bm{α_s}} \cong \bm{β_1},...,\bm{β_r}\]

向量组的等价关系的3条性质：

1）反身性：任何一个向量组都与自身等价；

2）对称性：如果\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)与\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)等价，那么\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)与\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)等价；

3）传递性：如果\({\bm{α_1},...,\bm{α_s}} \cong \bm{β_1},...,\bm{β_r}, \bm{β_1},...,\bm{β_r} \cong \bm{γ_1},...,\bm{γ_t}\)，那么\({\bm{α_1},...,\bm{α_s}} \cong {γ_1},...,\bm{γ_t}\).

证明：
1）2）由定义2，显然成立

3）
∵\({\bm{α_1},...,\bm{α_s}} \cong \bm{β_1},...,\bm{β_r}\)

∴\(\bm{α_i}=\displaystyle\sum_{j=1}^{r}b_{ij}\bm{β_j},i=1,...,s\)

∵\(\bm{β_1},...,\bm{β_r} \cong \bm{γ_1},...,\bm{γ_t}\)

∴\(\bm{β_j}=\displaystyle\sum_{k=1}^{t}c_{jk}\bm{γ_k},k=1,...,r\)

∴\(\bm{α_i}=\displaystyle\sum_{j=1}^rb_{ij}(\displaystyle\sum_{k=1}^{t}c_{jk}\bm{γ_k})=\displaystyle\sum_{k=1}^t(\displaystyle\sum_{j=1}^rb_{ij}c_{jk})\bm{γ_{k}},i=1,...,s\)

∴\({\bm{α_1},...,\bm{α_s}}\)可由\({γ_1},...,\bm{γ_t}\)线性表出
同理，可证\({γ_1},...,\bm{γ_t}\)可由\({\bm{α_1},...,\bm{α_s}}\)线性表出
故\({\bm{α_1},...,\bm{α_s}} \cong {γ_1},...,\bm{γ_t}\).

重要性质

命题1 向量组与它的极大线性无关组等价.

证明：

设向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_m},\bm{α_{m+1}},...,\bm{α_s}\)的一个极大线性无关组\(\bm{α_1},...,\bm{α_m}\)

极大线性无关组\(\bm{α_1},...,\bm{α_m}\)显然能由向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_m},\bm{α_{m+1}},...,\bm{α_s}\)线性表示.

1）当\(1\le i\le m\)时，\(\bm{α_i}\)显然可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_m}\)线性表出；

2）当\(m+1\le i\le s\)时，由定义1知，\(\bm{α_1},...,\bm{α_m},\bm{α_{i}}\)线性相关

由高等代数笔记：线性相关与线性无关向量组命题1:向量组\(\bm{α_1,...α_s}\)线性无关，则\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,...α_s}\)线性表出的充要条件\(\bm{α_1,...α_s},\bm{β}\)线性相关.

知，\(\bm{α_i}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_m}\)线性表出

∴向量组可由其极大线性无关组线性表出

∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_s} \cong \bm{α_1},...,\bm{α_m}\)

由等价关系的对称性、传递性知，

推论1 向量组的任意2个极大线性无关组等价.

由命题1+线性表出的传递性知，

推论2 \(\bm{β}\)可由向量组\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)线性表出当且仅当\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)的一个极大线性无关组线性表出

注：线性表出的传递性：\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)可由\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)线性表出，\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)可由\(\bm{γ_1},...,\bm{γ_t}\)线性表出，那么\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)可由\(\bm{γ_1},...,\bm{γ_t}\)线性表出.（证明方法同等价关系的传递性）

几何空间中向量\(\bm{β_1},\bm{β_2},\bm{β_3}\)可由\(\bm{α_1},\bm{α_2}\)线性表出，那么\(\bm{β_1},\bm{β_2},\bm{β_3}\)共面. 由此猜想：

引理1 设向量组\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)可由向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性表出，如果\(r>s\)，那么\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)线性相关.

证明：

\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)线性相关\(\Longleftrightarrow\) 存在不全为0的数\(k_1,...,k_r\)使得\(k_1\bm{β_1}+...+k_r\bm{β_r}=0\)

考察齐次线性方程组\(x_1\bm{β_1}+...+x_r\bm{β_r}=0\)

由已知，设

\[\begin{aligned} \bm{β_1}&=a_{11}\bm{α_1}+a_{21}\bm{α_2}+...+a_{s1}\bm{α_s},\\ \bm{β_2}&=a_{12}\bm{α_1}+a_{22}\bm{α_2}+...+a_{s2}\bm{α_s},\\ ...&\\ \bm{β_r}&=a_{1r}\bm{α_1}+a_{2r}\bm{α_2}+...+a_{sr}\bm{α_s}. \end{aligned} \]

∴

\[\begin{aligned} x_1\bm{β_1}+...+x_r\bm{β_r} = &x_1(a_{11}\bm{α_1}+a_{21}\bm{α_2}+...+a_{s1}\bm{α_s})\\ &+x_2(a_{12}\bm{α_1}+a_{22}\bm{α_2}+...+a_{s2}\bm{α_s})\\ &+...\\ &+x_r(a_{1r}\bm{α_1}+a_{2r}\bm{α_2}+...+a_{sr}\bm{α_s})\\ =&(x_1a_{11}+x_2a_{12}+...+x_ra_{1r})\bm{α_1}\\ &+(x_1a_{21}+x_2a_{22}+...+x_ra_{2r})\bm{α_2}\\ &+...\\ &+(x_1a_{s1}+x_2a_{s2}+...+x_ra_{sr})\bm{α_s}\\ =&0 \end{aligned} \tag{1} \]

上面的方程组(1)是否有非零解，即\(x_1,...,x_r\)不全为0？

考察方程组：

\[\begin{cases} x_1a_{11}+x_2a_{12}+...+x_ra_{1r}=0\\ x_1a_{21}+x_2a_{22}+...+x_ra_{2r}=0\\ ...\\ x_1a_{s1}+x_2a_{s2}+...+x_ra_{sr}=0 \end{cases} \tag{2} \]

可知方程数s，未知数数量r
而已知\(s < r\)
∴方程组有无穷解
∴必定存在非零解，使得方程组(1)成立

不妨设其中一个非零解\((k_1,k_2,...,k_r)\)，有，

\[x_1\bm{β_1}+...+x_r\bm{β_r} = 0\bm{α_1} + ... + 0\bm{α_s} = 0 \]

∴\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)线性相关

推论3 设向量组\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)可由向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出，如果\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)线性无关，那么\(r\le s\).

引理的逆否命题.

推论4 等价的线性无关的向量组所含向量个数相等.

由推论3 + 定义2.

推论5 向量组的任意2个极大线性无关组所含向量个数相等.

由推论1 + 推论4

向量组的秩

秩的定义

定义3 向量组的极大线性无关组所含向量个数，称为这个向量组的秩.

全由零向量组成的向量组的秩，规定为0.

向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)的秩记为\(rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_s}\}\).

命题2 向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性无关的充要条件：它的秩等于所含向量个数s.

证明：
\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性无关
\(\xLeftrightarrow{极大线性无关组定义}\) 极大线性无关组是其本身
\(\xLeftrightarrow{定义3}\) \(rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_s}\}=s\)

重要意义： 仅凭向量组的秩，就能判断向量组是否线性无关.

判断秩大小关系

命题3 如果向量组A可由向量组B线性表出，那么\(rank\{A\}\le rank\{B\}\).

证明：设\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)是A的一个极大线性无关组，\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)是B的一个极大线性无关组

有\(rank\{A\}=s, rank\{B\}=r\).

由命题1（向量组与它的极大线性无关组等价）、等价关系的定义，知，
\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)可由A线性表出，B可由\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)线性表出

由线性表出的传递性，知，
\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)可由\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)线性表出

∵\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性无关
∴由推论3，\(s\le r\)
即\(rank\{A\}\le rank\{B\}\)

命题4 等价的向量组有相等的秩.

证明：
向量组A、B等价
\(\Longleftrightarrow\) A、B能相互线性表出
\(\xRightarrow{命题3}\) \(rank\{A\}\le rank\{B\},rank\{B\}\le rank\{A\}\)
\(\xRightarrow{}\) \(rank\{A\} = rank\{B\}\)

线性无关组与秩

1. 设向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)秩为r，证明：\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)的任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.

证明：
设\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)为\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)的一个极大线性无关组

从\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)任取r个线性无关向量\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)，从剩余部分任取一个向量\(\bm{α_l}\)

由极大线性无关组定义，知\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}, \bm{α_l}\) 可由\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)线性表出

又\(r+1 > r\)
由引理1，\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}, \bm{α_l}\)线性相关

而\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性无关 （从向量组剩余部分添加1个向量，变成线性相关）

∴由极大线性无关组定义知，\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)是\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)的一个极大线性无关组

故得证.

2. 设向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)秩为r，证明：如果\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)可由其中的r个向量\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性表出，那么\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)是\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)的一个极大线性无关组.

证明：

前面已经证明，任取的r个向量只要线性无关，就能证明它是一个极大线性无关组

设\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)为\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)的一个极大线性无关组

问题转化为证明：\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\) 线性无关

证法一：
由已知条件，\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)能由\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性表出

由命题3，\(r=rank\{\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\} \le rank\{\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\}\)
而\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)最多r个向量

∴\(rank\{\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\}=r\)

由命题2，\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性无关

故得证.

证法二：
由已知条件，\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)能由\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性表出

由极大线性无关组定义，
\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)能由\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)线性表出

∴\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\cong \bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)

由命题4（等价的向量组有相等的秩），
\(rank\{\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\}=r\)

由命题2，\(\bm{α_{j_1}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性无关

3. 证明：在n维向量空间\(K^n\)中，任一线性无关向量组的个数≤n.

证明：
证法一：直接证明任取的线性无关向量的个数 ≤ n

设\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)是\(K^n\)中一个线性无关的向量组，\(\bm{e_1},...,\bm{e_n}\)是n维向量空间的一组基

由基向量定义（见高等代数笔记：n维向量空间\(K^n\)）知，

\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)可由\(\bm{e_1},...,\bm{e_n}\)线性表出

∵\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性无关

∴由推论3（设向量组\(\bm{β_1},...,\bm{β_k}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出，如果\(\bm{β_1},...,\bm{β_k}\)线性无关，那么\(r\le k\)），知，
\(s\le n\)

证法二：证明任取的n+1个向量线性相关，那么最多只能有n个线性无关向量

从\(K^n\)中任取\(\bm{α_1},...,\bm{α_n},\bm{α_{n+1}}\)

由基向量定义，\(\bm{α_1},...,\bm{α_n},\bm{α_{n+1}}\)可由基向量组\(\bm{e_1},...,\bm{e_n}\)线性表出

∵\(n+1>n\)
∴由引理1，\(\bm{α_1},...,\bm{α_n},\bm{α_{n+1}}\)线性相关
∴最多只能有n个线性无关向量

证法三：同二

高等代数笔记：线性相关与线性无关向量组）中，已经证明：\(K^n\)中，任意n+1个向量都线性相关

∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_n},\bm{α_{n+1}}\)线性相关

4. 证明：在n维空间\(K^n\)中，n个向量\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性无关当且仅当\(K^n\)中任一向量都可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性表出.

证明：必要性. 设\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性无关
∴\(k_1\bm{α_1}+...+k_n\bm{α_n}=0\implies k_1=...=k_n=0\)

\(K^n\)中任取一向量\(\bm{β}\)

∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_n},\bm{β}\)线性相关（前面已经证明：n维空间中，任意n+1维向量线性相关）

对于\(k_1\bm{α_1}+...+k_n\bm{α_n}+k\bm{β}=0\)
如果\(k=0\)，那么\(\bm{α_1},...,\bm{α_n},\bm{β}\)线性无关，矛盾
∴\(k\neq 0\)
∴\(\bm{β}\)能由\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性表出

充分性. 设\(K^n\)中任一向量都可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性表出

∴基向量组\(\bm{e_1},...,\bm{e_n}\)能由\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性表出
∵\(\bm{e_1},...,\bm{e_n}\)线性无关
∴\(rank\{\bm{e_1},...,\bm{e_n}\}=n\le rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_n}\}\)（由命题3）
而\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)最多n个向量
∴\(rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_n}\}\le n\)
∴\(rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_n}\}=n\)
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性无关（由命题2）

5. 证明：如果向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)与向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_s},\bm{β}\)有相等的秩，那么\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性表出.

证明：
如何证明\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性表出？
考虑\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)等价的极大线性无关组

设\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)是\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)的一个极大线性无关组

显然，\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性表出
∴\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}},\bm{β}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_s},\bm{β}\)线性表出

由命题3，\(rank\{\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}},\bm{β}\}\le rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_s},\bm{β}\}\)

由已知条件，\(rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_s},\bm{β}\} = rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_s}\}=r\)
∴\(rank\{\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}},\bm{β}\}\le r\)

由命题2（向量组线性无关的充要条件：它的秩等于所含向量个数），知，
\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}},\bm{β}\)必定线性相关，否则秩为\(r+1\).

又∵\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)线性无关（极大线性无关组定义）

∴由高等代数笔记：线性相关与线性无关向量组命题1（设向量组\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性无关，则\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1,...,α_s}\)线性表出的充要条件：\(\bm{α_1,...,α_s,β}\)线性相关），\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_{i_1}},...,\bm{α_{i_r}}\)线性表出

∴由线性表出的传递性，\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性表出

6. 2个向量组等价的充要条件：秩相等且其中一个向量组可由另一个线性表出.

证明：

必要性. 设2个向量组A, B等价

由命题4（等价的向量组有相等的秩），\(rank\{A\}=rank\{B\}\)
由定义2（向量组的等价关系定义），A可由B线性表出，B也能由A线性表出.

充分性. 设2个向量组A, B的秩相等，且A可由B线性表出.

设A,B的一个极大线性无关组，分别为\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)和\(\bm{β_1},...\bm{β_s}\)，有\(rank\{A\}=rank\{B\}=s\)

\(A\cong \bm{α_1},...\bm{α_s}, B\cong \bm{β_1},...\bm{β_s}\)

如何证明A, B等价？

∵\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)可由A线性表出，A可由B线性表出，B可由\(\bm{β_1},...\bm{β_s}\)线性表出
∴\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)可由\(\bm{β_1},...\bm{β_s}\)线性表出（线性表出传递性）

任取\(\bm{β_j}(j=1,2,...,r)\)，则\(\bm{α_1},...\bm{α_s},\bm{β_j}\)可由\(\bm{β_1},...\bm{β_s}\)线性表出

∴由命题3，\(rank\{\bm{α_1},...\bm{α_s},\bm{β_j}\} \le rank\{\bm{β_1},...\bm{β_s}\}=s\)
由引理1，\(\bm{α_1},...\bm{α_s},\bm{β_j}\)线性相关

∴\(k_1\bm{α_1}+...+k_s\bm{α_s}+k\bm{β}=0\implies k_1,...,k_s,k\)不全为0

∵\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)线性无关
∴\(k_1\bm{α_1}+...+k_s\bm{α_s}=0\implies k_1=...=k_s=0\)
∴\(k\neq 0\)
∴\(\bm{β_j}\)能由\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)线性表出

∵\(\bm{β_j}\)是任取的
∴\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)可由\(\bm{α_1},...\bm{α_s}\)线性表出
∴\(\bm{α_1},...\bm{α_s} \cong \bm{β_1},...,\bm{β_s}\)
由向量组等价的传递性，\(A\cong B\)

矩阵的秩

行秩与列秩的定义

线性方程组：\(x_1\bm{α_1}+x_n\bm{α_n}=\bm{β}\)

\(\bm{α_1},...\bm{α_n},\bm{β}\)任一向量既可以表示列向量，也可以表示行向量

对应地，方程组的增广矩阵既有列向量组的秩，也有行向量的秩. 它们的关系如何？

这就是这部分要探讨的内容.

引入概念：
列秩： 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩. 列秩 = 列空间的维数；
行秩： 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩. 行秩 = 行空间的维数.

行秩与列秩的关系

定理1 阶梯形矩阵J的行秩与列秩相等，它们都等于J的非零行的个数；且J的主元所在列构成列向量的一个极大线性无关组.

证明：
设数域K上\(s\times n\)阶行阶梯形矩阵J，有r个非零行（\(r\le s\)）

i.e. J有r个主元，设分别位于第\(j_1,j_2...,j_r\)列. J形如：

\[\begin{pmatrix} 0 & ... & 0 & ... & c_{1j_1} & ... & c_{1j_2} & ... & c_{1j_r} & ... & c_{1n}\\ 0 & ... & 0 & ... & 0 & ... & c_{2j_2} & ... & c_{2j_r} & ... & c_{2n}\\ ... & & ... & & ... & & ... & & ... & & ...\\ 0 & ... & 0 & ... & 0 & ... & 0 & ... & c_{rj_r} & ... & c_{rn}\\ 0 & ... & 0 & ... & 0 & ... & 0 & ... & 0 & ... & 0\\ 0 & ... & 0 & ... & 0 & ... & 0 & ... & 0 & ... & 0\\ \end{pmatrix} \]

其中，\(c_{1j_1}c_{2j_2}...c_{rj_r}\neq 0\) （主元不能为0）

J的列向量组记为\(\bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_n}\)（n列）；行向量组记为\(\bm{γ_1},\bm{γ_2},...,\bm{γ_s}\)（s行）

1）先求J列秩

列向量缩短组\(\bm{α_{t1}},...,\bm{α_{tr}}\)，构成系数矩阵：

\[(\bm{α_{t1},...,\bm{α_{tr}}})= \begin{vmatrix}c_{1j_1} & c_{1j_2} & ... & c_{1j_r}\\ 0 & c_{2j_2} & ... & c_{2j_r}\\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & c_{rj_r} \end{vmatrix} =c_{1j_1}c_{2j_2}...c_{rj_r}\neq 0 \]

其中，

\[\bm{α_{t1}}=\begin{pmatrix}c_{1j_1}\\0\\...\\0\end{pmatrix}, \bm{α_{t2}}=\begin{pmatrix}c_{1j_2}\\c_{2j_2}\\...\\0\end{pmatrix}, ..., \bm{α_{t2}}=\begin{pmatrix}c_{1j_r}\\c_{2j_r}\\...\\c_{rj_r}\end{pmatrix} \]

∴列向量缩短组\(\bm{α_{t1}},...,\bm{α_{tr}}\)线性无关

∴延伸组\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性无关（参见高等代数笔记：线性相关与线性无关向量组）

∴\(rank\{\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\} = r\)（见命题2）

注意：延伸组\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)才是J的列向量组，且取自\(\bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_n}\)

∴\(K^n\)的非零子空间\(\langle \bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\rangle\)维数为r，即

\[dim\lang \bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\rang=r \]

设\(U=\{(a_1,...,a_r,0,...,0)'|a_i\in K, i=1,2,...,r\}\)
由高等代数笔记：子空间的基与维数例1，知
\(dimU=r\)且标准基\(\bm{\epsilon_1},...,\bm{\epsilon_r}\)是U的一个基

而\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)能用\(\bm{\epsilon_1},...,\bm{\epsilon_r}\)线性表出
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\in \lang \bm{\epsilon_1},...,\bm{\epsilon_r} \rang = U\)

∵\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)取自\(\bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_n}\)
∴\(\lang \bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}} \rang \subseteq \lang \bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_n} \rang \subseteq U\)

∴由高等代数笔记：子空间的基与维数命题4，

\(r=dim\lang \bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}} \rang \le dim\lang \bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_n} \rang \le dimU=r\)
∴\(dim\lang \bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_n} \rang=r\)

∴\(\lang \bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\rang = \lang \bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_n} \rang\)

由列秩定义知，J的列秩为\(dim\lang \bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_n} \rang=r\)

∵\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性无关
∴\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)是J的列向量组的一个极大线性无关组，也是列向量空间\(\lang \bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_n}\rang\)的一个基

而\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)对应列，正是主元所在列

2）再求J行秩

行向量缩短组\(\bm{γ_{t1}},\bm{γ_{t2}}...,\bm{γ_{tr}}\)，构成的系数行列式

\[\begin{pmatrix}\bm{γ_{t1}}\\\bm{γ_{t2}}\\...\\\bm{γ_{tr}}\end{pmatrix}= \begin{vmatrix}c_{1j_1} & c_{1j_2} & ... & c_{1j_r}\\ 0 & c_{2j_2} & ... & c_{2j_r}\\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & c_{rj_2} \end{vmatrix} =c_{1j_1}c_{2j_2}...c_{rj_r}\neq 0 \]

其中，

\[\begin{aligned} \bm{γ_{t1}} &= (c_{1j_1}, c_{1j_2}, ..., c_{1j_r}),\\ \bm{γ_{t2}} &= (0, c_{2j_2}, ..., c_{2j_r}),\\ ...\\ \bm{γ_{tr}} &= (0, 0, ..., c_{rj_r}) \end{aligned} \]

∴列向量缩短组\(\bm{γ_{t1}},...,\bm{γ_{tr}}\)线性无关
∴其延伸组\(\bm{γ_1},\bm{γ_2},...,\bm{γ_r}\)线性无关

∵\(\bm{γ_{r+1}}=...=\bm{γ_s}=0\)
∴\(\bm{γ_1},\bm{γ_2},...,\bm{γ_r}\)是\(\bm{γ_1},\bm{γ_2},...,\bm{γ_s}\)的一个极大线性无关组

由行秩定义，J的行秩\(rank\{\bm{γ_1},\bm{γ_2},...,\bm{γ_s}\}= rank\{\bm{γ_1},\bm{γ_2},...,\bm{γ_r}\} = r\)

综上，J的列秩=行秩，且主元所在列（\(j_1,j_2,...,j_r\)）构成列向量组的一个极大线性无关组.

初等行列变换与行秩、列秩

定理2 矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩.

定理3 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变列秩.

定理4 任一矩阵A的行秩=列秩.

矩阵的秩的定义

定义1 矩阵A的行秩与列秩统称为A的秩，记作\(rank\{A\}\).

初代行列变换与矩阵的秩

推论1 设矩阵A经过初等行变换成阶梯型矩阵J，则A的秩=J的非零行个数. 设J的主元所在列为第\(j_1,j_2,...,j_r\)列，则A的第\(j_1,j_2,...,j_r\)列构成A的列向量组的一个极大线性无关组.

推论2 矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩.

矩阵的秩与子式

定理5 任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数.

推论3 设\(s\times n\)矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r阶子式所在列（行）构成A的列（行）向量组的一个极大线性无关组.

推论4 n级矩阵A满秩的充要条件：\(|A|\neq 0\).