高等代数笔记：子空间的基与维数
基的定义
n维向量空间，可参见高等代数笔记：n维向量空间Kn
定义1 设U是\(K^n\)的一个子空间，如果\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\in U\)，且满足2个条件：
1）\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性无关，
2）U中每个向量都能由\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出，
那么称\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)是U的一个基.
∵\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性无关
∴如果\(\bm{α}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出，那么表出方式唯一
i.g. 三维空间中，物体位置在直角坐标系下的坐标唯一.
\(\bm{ϵ_1},\bm{ϵ_2},...,\bm{ϵ_n}\)是\(K^n\)的一个基，称为\(K^n\)的标准基.
基的性质
定理1 \(K^n\)的任一非零子空间U都有一个基.
证明：在U中任取一个非零向量\(\bm{α_1}\)
∴向量组\(\bm{α_1}\)线性无关（只有1个向量）
由向量组\(\bm{α_1}\)组成的线性子空间\(\lang \bm{α_1} \rang\)，是由\(\bm{α_1}\)线性变换得到的所有向量组的集合
如果\(\lang \bm{α_1} \rang \neq U\)，那么存在\(\bm{α_2}\in U\)且\(\bm{α_2}\notin \lang \bm{α_1} \rang\).
∵\(\bm{α_2}\notin \lang \bm{α_1} \rang\)
∴\(\bm{α_2}\)不能由\(\bm{α_1}\)线性表出，即\(\bm{α_1}, \bm{α_2}\)线性无关
如果\(\lang \bm{α_1},\bm{α_2} \rang \neq U\)，那么存在\(\bm{α_3}\in U\)且\(\bm{α_3}\notin \lang \bm{α_1},\bm{α_2}\rang\).
∴\(\bm{α_3}\)不能由\(\bm{α_1},\bm{α_2}\)线性表出
∴\(\bm{α_1},\bm{α_2}, \bm{α_3}\)线性无关.
依次类推...
∵\(K^n\)中任一线性无关的向量组的向量个数不超过n
∴直到某一步s（\(s\le n\)）为止，此时\(\lang \bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_s}\rang = U\)
显然，
1）\(\bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_s}\)线性无关；
2）子空间\(U=\lang \bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_s} \rang\)的每个向量，都能由\(\bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_s}\)线性表出（线性子空间定义）
∴\(\bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_s}\)是U的一个基
注意：
1）子空间\(\lang \bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_s} \rang\)代表由向量组\(\bm{α_1},\bm{α_2},...,\bm{α_s}\)线性变换得到的所有向量的集合；
2）定理1说明：子空间的任一线性无关向量组都能扩充成U的一个基
定理2 \(K^n\)的非零子空间U的任意2个基所含向量的个数相等.
说明：等价的线性无关的向量组，具有相同个数的向量（见高等代数笔记：向量组、矩阵的秩推论4）
证明：设U的2个基：\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)和\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)
由基的定义知，
1）\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)和\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)线性无关
2）U中每个向量都能由\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)和\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)线性表出
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)能由\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)线性表出
\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)也能由\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\cong \bm{β_1},...,\bm{β_s}\)
由推论4，\(r=s\)
维数的定义
定义2 \(K^n\)的非零子空间U的一个基所含向量的个数，称为U的维数，记作\(dim_KU\)或\(dimU\).
零子空间的维数规定为0.
- 为什么\(K^n\)称为n维向量空间？
∵标准基\(\bm{ϵ_1},\bm{ϵ_2},...,\bm{ϵ_n}\)是\(K^n\)的一个基
∴基所含向量个数n为U的维数，即\(dimK^n=n\)
- 基与维数的区别
基是构成子空间的线性无关向量组，维数是这个向量组的向量个数.
坐标
由基的定义，U的每个向量都能由基线性表出.
定义3 设\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)是\(K^n\)的子空间U的一个基，那么U中每个向量\(\bm{α}\)都能由基唯一线性表出：
\[\bm{α}=a_1\bm{α_1}+a_2\bm{α_2}+...+a_r\bm{α_r} \]有序数组\((a_1,a_2,...,a_r)\)称为\(\bm{α}\)在基\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)下的坐标.
坐标是唯一的吗？
是的. 因为基\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性无关
空间维数与向量组的线性相关
命题1 设\(dimU = r\)，则U中任意r+1个向量都线性相关.
证明：设\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)是U的一个基
∴从U中任取r+1个向量\(\bm{β_1},...,\bm{β_{r+1}}\)都能由\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出
∵\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性无关，且\(r < r+1\)
∴由引理1（高等代数笔记：向量组、矩阵的秩），\(\bm{β_1},...,\bm{β_{r+1}}\)线性相关
命题2 设\(dimU=r\)，则U中任意r个线性无关的向量组都是U的一个基.
证明：从U中任取r个线性无关的向量\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)，任取向量\(\bm{β}\in U\)
由命题1，\(\bm{α_1},...,\bm{α_r},\bm{β}\)线性相关
∵\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性无关
∴\(\bm{β}\)可由\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出且表出方式唯一（参见高等代数笔记：线性相关与线性无关向量组向量组线性表出）
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)是U的一个基
命题3 设\(dimU=r,\bm{α_1},...,\bm{α_r}\in U\). 如果U中每个向量都能由\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出，那么\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)是U的一个基.
思路：只需证明\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性无关，可通过研究U的一个基与\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)的关系
证明：设\(\bm{e_1},...,\bm{e_r}\)是U的一个基
∵\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\in U\)
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)能用\(\bm{e_1},...,\bm{e_r}\)线性表出
由已知条件，\(\bm{e_1},...,\bm{e_r}\)能用\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\cong \bm{e_1},...,\bm{e_r}\)
∴\(rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_r}\}=rank\{\bm{e_1},...,\bm{e_r}\}=r\)
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性无关
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)是U的一个基
命题4 设U和W都是\(K^n\)的非零子空间，如果\(U\subseteq W\)，那么
\(dimU\le dim W\).
思路：通过2个子空间的基，来研究它们的维数关系
证明：设\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)和\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)分别是U和W的一个基
∵\(U\subseteq W\)
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r} \in W\)
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)能用\(\bm{β_1},...,\bm{β_s}\)线性表出
∴\(rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_r}\}=r\le rank\{\bm{β_1},...,\bm{β_s}\}=s\) （见高等代数笔记：向量组、矩阵的秩命题3）
即\(dimU\le dim W\)
命题5 设U和W是\(K^n\)的2个非零子空间，且\(U\subseteq W\)，如果\(dimU=dimW\)，那么\(U=W\).
证明：
∵\(dimW=dimU\)
∴可从U,W中分别取一个基\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\in U,\bm{β_1},...,\bm{β_r}\in W\)，且\(dimW=dimU=r\)
∵\(U\subseteq W\)
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\in W\)
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)能用\(\bm{β_1},...,\bm{β_r}\)线性表出
任取一向量\(\bm{β}\in W\),
∵\(dimW=r\)
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_r},\bm{β}\in W\)
∴由命题1，r+1个向量\(\bm{α_1},...,\bm{α_r},\bm{β}\)线性相关
又\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性无关
∴\(\bm{β}\)能用\(\bm{α_1},...,\bm{α_r}\)线性表出
∴\(\bm{β}\in U\)
∴\(W\subseteq U\)
∴\(W=U\)
定理3 向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)的一个极大线性无关组是这个向量组生成的子空间\(\lang \bm{α_1},...,\bm{α_s}\rang\)的一个基，从而
\[dim\lang \bm{α_1},...,\bm{α_s} \rang = rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_s}\}. \]
证明：
设这个极大线性无关组为\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}},r\le s\)
∴\(\bm{α_1},...,\bm{α_s} \cong \bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)，且\(rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_s}\}=rank\{\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\}=r\)
由子空间定义知，\(W=\lang \bm{α_1},...,\bm{α_s} \rang\)中每个向量都能由\(\bm{α_1},...,\bm{α_s}\)线性表出
∴\(W\)中每个向量都能由\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性表出
∵\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)线性无关
∴由基的定义知，\(\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\)是\(W\)的一个基.
∴由维数定义，\(dimW=rank\{\bm{α_{j_1}},\bm{α_{j_2}},...,\bm{α_{j_r}}\}=rank\{\bm{α_1},...,\bm{α_s}\}\)
故得证.
例题
例1 设\(r<n\). 在\(K^n\)中，令
求子空间U的一个基和维数.
分析：U是坐标形式，考虑标准基作为U的一个基
解：
U中任意向量\(\bm{α}=(a_1,a_2,...,a_r,0,...,0)'\)，可用标准基表示
∵\(\bm{\epsilon_1},\bm{\epsilon_2},...,\bm{\epsilon_n}\)线性无关
∴部分组\(\bm{\epsilon_1},\bm{\epsilon_2},...,\bm{\epsilon_r}\)无关
∴\(\bm{\epsilon_1},\bm{\epsilon_2},...,\bm{\epsilon_r}\)是U的一个基
∴\(dimU=rank\{\bm{\epsilon_1},\bm{\epsilon_2},...,\bm{\epsilon_r}\}=r\)
例2 设A是数域K上的n级矩阵. 证明：如果\(|A|\neq 0\)，那么A的列向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)是\(K^n\)（由列向量组成）的一个基；A的行向量组\(\bm{γ_1},...,\bm{γ_n}\)是\(K^n\)（由行向量组成）的一个基.
证明：
\(|A|\neq 0 \Longleftrightarrow\)方程组\(\bm{α_1}x_1+...+\bm{α_n}x_n=0\)只有0解\(\Longleftrightarrow \bm{α_1},...,\bm{α_n}\)线性无关
又\(dimK^n=n\)
∴由命题2，向量组\(\bm{α_1},...,\bm{α_n}\)是\(K^n\)的一个基
同理，向量组\(\bm{γ_1},...,\bm{γ_n}\)是\(K^n\)的一个基
注意：\(Ax=0\)
对于列向量，系数矩阵\(A=(\bm{α_1},...,\bm{α_n})\)，方程组可看成
对于行向量，系数矩阵\(A=(\bm{γ_1},...,\bm{γ_n})'\)，方程组可看成
浙公网安备 33010602011771号