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数学理论学习
群论入门三部曲 - 抽象代数中的群
摘要：抽象代数的课程我是第二次上了，可是在群论部分知识点还是缺乏理解、融会和梳理，而且有一种知识点零碎无规律的感觉。我缺乏一种宏观上俯视全局的经验，因此被老师上课抄板书式的讲课带得“迷惘、疲劳而无所得”。这里，我希望提供一个全局的视角，将抽象代数中的群论、群表示论和一些李代数稍作梳理汇总。 注意本文完全不 阅读全文
posted @ 2016-10-29 22:16 羽夜 阅读(19934) 评论(0) 推荐(0)
[矩阵计算]Davidson对角化
摘要：更新： 8 AUG 2016 花了几个礼拜写程序终于跑过Davidson对角化！至此，Davidson对角化的思路已经完全清晰。如尚有不准确之处，请务必回复指出！ 一、Davidson对角化的思路 Davidson对角化是一种快速求出大规模稀疏矩阵的方法，对于求量子体系中$\textbf{H}|C\ 阅读全文
posted @ 2016-08-09 10:57 羽夜 阅读(3961) 评论(2) 推荐(0)
[矩阵计算]Lanczos方法：求稀疏矩阵特征值
摘要：更新： 29 JUL 2016 由QR方法知，求矩阵$A$的特征值，大多需要先将其三对角化（详细方法见徐树方先生的教材。此处外链一个例子），即 $$ T=Q^TAQ $$ 即找到正交矩阵$Q$使得$T$成为三对角矩阵。然而若$A$为大型稀疏矩阵，常用的方法如Householder和Givens变换都 阅读全文
posted @ 2016-07-30 01:50 羽夜 阅读(11779) 评论(12) 推荐(0)
[矩阵计算]求解矩阵特征值的QR方法
摘要：更新： 28 JUL 2016 求矩阵特征值问题的重要性自不待言，在此仅举一例，即在量子力学中解$\textbf{HC}=E\textbf{C}$特征方程求本征值（能量）和本征矢。本人目的就在于此，求矩阵特征值是一个总体思路。然而实际上哈密顿量$\textbf{H}$通常是一个巨大的稀疏矩阵，采用最经典的QR方法实际上不可行。此处介绍QR方法作为后文介绍Lanczos方法的知识铺垫。 参考教材... 阅读全文
posted @ 2016-07-29 05:45 羽夜 阅读(4918) 评论(0) 推荐(0)
[忘记高数]Wronsky行列式
摘要：更新：5 JUN 2016 【定义1】区间\(I\)上n个一元n-1阶连续可导函数\(y_1,y_2,\cdots,y_n\)的Wronsky行列式为 \(W(x)=\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x) \\ y_1’(x) & y_2’(x) &\cdots & y_n’(x) \\ \vdots& & & \vdots \\ y... 阅读全文
posted @ 2016-06-05 18:19 羽夜 阅读(1913) 评论(2) 推荐(0)
[忘记高数]Hesse矩阵
摘要：更新：5 JUN 2016 【多元函数Taylor展开】n元函数\(y=f(X)\)在\(X_0\)点的某个领域\(B(X_0,r)\)内二阶连续可微，则\(\forall X\in B(X_0,r), \exists \theta\in (0,1)\)，使得 \(f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)\Delta X+\dfrac{1}{2}(\Delta X)^TH(X_0+\theta\... 阅读全文
posted @ 2016-06-05 17:33 羽夜 阅读(2049) 评论(0) 推荐(0)
[忘记高数]Jacobi矩阵与Jacobi行列式
摘要：更新：5 JUN 2016 【向量值函数】\(Y=\textbf{f}(X): \Omega\subset\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\) 可以看作m个分量函数 \(y_1=f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) \(y_2=f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) …… \(y_m=f_m(x_1,x_2,\cdots... 阅读全文
posted @ 2016-06-05 16:48 羽夜 阅读(5981) 评论(0) 推荐(0)
数理方程：波动方程的行波法
摘要：更新：17 APR 2016 借鉴常微分方程的思路，先对偏微分方程求通解，再通过边界条件等确定其中的任意函数与系数。然而这种思路只对少数偏微分方程可行。 一维波动方程 | d'Alembert公式 \(\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\dfrac{\part 阅读全文
posted @ 2016-04-11 08:47 羽夜 阅读(3799) 评论(2) 推荐(0)
数理方程：二阶线性偏微分方程的分类和标准式
摘要：更新：9 APR 2016 方法 对于任意的二元二阶齐次线性偏微分方程， \(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial 阅读全文
posted @ 2016-04-09 14:00 羽夜 阅读(23821) 评论(3) 推荐(2)
数理方程：Laplace变换 & 留数（更新中）
摘要：更新：25 APR 2016 Laplace变换 设函数\(f(t)\)在\(t>0\)时有定义，积分 \(F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \qquad (s\in \mathbb{C})\) 若在s的某一域内收敛，则称此映射为Laplace变换，记为 \(F(s)=\mathscr{L}[f(t)],\qquad f(t)=\mathscr{L}^... 阅读全文
posted @ 2016-04-01 12:51 羽夜 阅读(3051) 评论(0) 推荐(0)
数理方程：Fourier变换与卷积
摘要：更新：1 APR 2016 关于傅里叶级数参看数理方程：Fourier级数 Fourier变换： 对于满足Dirichlet条件的函数\(f(t)\)在其连续点处定义 \(F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt\) 则\(f(t)\)可变换为 \(f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{... 阅读全文
posted @ 2016-04-01 11:57 羽夜 阅读(2593) 评论(0) 推荐(0)
数理方程：线性非齐次方程在齐次边界条件下的解法
摘要：更新：28 MAR 2016 以波动方程为例 \(\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t),\qquad 0<x<l,\quad t>0\) 边界条件：齐次 \(u|_{x=0}=u| 阅读全文
posted @ 2016-03-28 10:08 羽夜 阅读(1633) 评论(0) 推荐(0)
数理方程：Fourier级数
摘要：更新:25 MAR 2016 对于周期函数（周期为\(2\pi\)）或定义在\([-\pi,\pi]\)上的函数\(f(x)\)，可以展开为* \(\large f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) 阅读全文
posted @ 2016-03-25 21:50 羽夜 阅读(983) 评论(0) 推荐(0)
数理方程：常微分方程基础
摘要：更新：25 MAR 2016 一阶线性常微分方程 齐次 \(\large y’(x)+p(x)y(x)=0\) 分离 //注意不是“分离变量”，因为y是x的函数 \(\large \dfrac{dy}{y}=-p(x)dx\) 两边积分即可 非齐次 \(\large y’(x)+p(x)y(x)=q 阅读全文
posted @ 2016-03-25 10:19 羽夜 阅读(1130) 评论(2) 推荐(0)
数理方程：三类常见齐次方程及其通解
摘要：更新：25 MAR 2016 一维弦振动方程 方程形式 \(\large \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}\quad\normalsize (0<x<l,\quad t>0)\) 其中\(a\ 阅读全文
posted @ 2016-03-18 10:18 羽夜 阅读(10223) 评论(0) 推荐(0)