数理方程:二阶线性偏微分方程的分类和标准式

更新:9 APR 2016

========方法========

对于任意的二元二阶齐次线性偏微分方程,

\(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+b_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+b_2\dfrac{\partial u}{\partial y}+cu=0\)

求特征方程、确定分类、化为标准型的方法为:

1.截:只关心其中的二阶部分

\(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)

2.换:将偏导数换成dx、dy

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \rightarrow (dy)^2\)

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} \rightarrow (dx)^2\)

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} \rightarrow \color{red}{\textbf{–}}(dxdy)\) 注意负号!

\(a_{11}(dy)^2\color{red}{\textbf{–}}{\color{blue}2}a_{12}(dxdy)+a_{22}(dx)^2=0\)

此即特征方程

3.分:特征方程中的系数\(a_{ij}\)可能是关于x、y的函数,即便如此仍视其为普通系数。这是一个二次方程,可以写出其\(\Delta\)

\(\Delta=a_{12}^2-a_{11}a_{22}\)

在方程的定义域内讨论其符号,

\(\Delta{\color{blue}<}0\) 椭圆形(elliptic)方程,如Laplace方程;

\(\Delta=0\) 抛物型(parabolic)方程,如一维热方程;

\(\Delta{\color{blue}>}0\) 双曲型(hyperbolic)方程,如一维波动方程。

此即方程的分类。此外有混合型。

4.反:解出dy与dx的关系式,注意用分解因式法可能比较简单。得到两个常微分方程(或一个)。

得到两个方程时,解出两个y与x的关系,注意这两个等式中分别有一个积分常数。将积分常数作为新的坐标(记作\(\xi, \eta\)),反写两等式,即用x、y表示这两个坐标。这时就进行了变量代换。

对于抛物型方程,得到一个常微分方程,解之,得到一个坐标;另一个坐标可以任意假设,如设作y。注意做偏微分时不能直接替换,需要用链式法则计算。

5.导:计算u关于x、y的一阶、二阶偏导数与混合偏导数,用\(\xi, \eta\)表示。

6.代:将上面的偏导数代入原方程,得到简化的以\(\xi, \eta\)为自变量的方程。此即方程的标准型

7.解:按照标准解法解之,得到关于\(\xi, \eta\)的通解。代换回x,y利用边界条件解之。

 

========原理========

之所以写特征方程,是因为在这里希望将原方程

\(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+b_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+b_2\dfrac{\partial u}{\partial y}+cu=0\)

化为

\(A_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial \xi^2}+2A_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta}+A_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+B_1\dfrac{\partial u}{\partial \xi}+B_2\dfrac{\partial u}{\partial \eta}+Cu=0\)

其中变量代换

\(\xi=\varphi(x,y)\)

\(\eta=\psi(x,y)\)

posted @ 2016-04-09 14:00  羽夜  阅读(16228)  评论(2编辑  收藏  举报