数理方程：Fourier级数

更新:25 MAR 2016

对于周期函数（周期为\(2\pi\)）或定义在\([-\pi,\pi]\)上的函数\(f(x)\)，可以展开为^*

\(\large f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad n=0,1,2,…\)

则系数为

\(\large a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\cos nx dx\)

\(\large b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\sin nx dx\)

 

对于周期函数（周期为\(2l\)）或定义在\([-l,l]\)上的函数\(f(x)\)，

\(\large f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi}{l}x+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x\right)\)

则系数为

\(\large a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cdot\cos\frac{n\pi}{l}xdx\)

\(\large b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cdot\sin\frac{n\pi}{l}xdx\)

 

对于定义在\([0,l]\)上的函数\(f(x)\)，展成Fourier级数，需要用到延拓的概念，此时可以选择奇延拓（展成正弦函数）或偶延拓（展成余弦函数）

奇延拓（展成正弦函数）

\(\large f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi}{l}x\)

\(\large b_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cdot\sin\frac{n\pi}{l}xdx\)

偶延拓（展成余弦函数）

\(\large f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi}{l}x\)

\(\large a_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cdot\cos\frac{n\pi}{l}xdx\)

 

* 展开有条件（Dirichlet条件），此处不详细说明。对于一般数学物理方程基本适用。