群论入门三部曲 - 抽象代数中的群

抽象代数的课程我是第二次上了，可是在群论部分知识点还是缺乏理解、融会和梳理，而且有一种知识点零碎无规律的感觉。我缺乏一种宏观上俯视全局的经验，因此被老师上课抄板书式的讲课带得“迷惘、疲劳而无所得”。这里，我希望提供一个全局的视角，将抽象代数中的群论、群表示论和一些李代数稍作梳理汇总。
注意本文完全不整理证明方法，任何结论都在课本上给出了证明。本文只是给出整体的图像，而且会夹杂个人的形象化描述和类比，语言上算不上严谨。

1.群的定义

群的定义共有四条：“封结幺逆”。子群的判定有两种。

一些常见的特殊群

• 元素数目（阶数）有限的群称为有限群，否则为无限群。
• 交换群又称Abel群。
• 无非平凡子群的群称为单群。
• 由一个元素生成的群称为循环群。
• 集合S到S的全部一一对应构成一个群，称为变换群\(A(S)\)。任何群都可以看做某集合上的变换群（Cayley定理）。这里的每个一一对应可以看成是每个排列方式。
• 有限集合（n个元素）上的变换群称为置换群\(S_n\)，亦称为n次对称群，其阶数为\(n!\)。
• n次对称群\(S_n\)中全部的偶置换构成n次交错群\(A_n\)，其阶数为\(\frac{1}{2}n!\)。5次及以上的交错群为单群。

2.群的内部结构

2.1 正规子群和商群

子群一定包含幺元。如果确定了一个群的非平凡子群，一定可以取某个该子群外的元素，构造该子群的一个傍集。傍集与子群“平行”（即元素数目相等，不相交），但是傍集并不是群。再取子群和傍集之外的元素继续构造另一个傍集……这样可以将大群进行“整齐的”划分，这就是Lagrange定理。任何大群中的元素都必然属于某一个傍集（子群也算傍集）。

这些傍集实际上可以用其中的一个元素作为代表（等价类），换句话说，傍集之集可以看成是一个“低分辨率”的大群，元素被一组一组地“捏”成一个点。一个很自然的想法是这个“低分辨率”的集合（傍集之集）是否仍然是群。对于\((Ha)(Hb)=H(ab)\)这种乘法运算成立的条件显然是任何a要能穿过H：\(aH = Ha\)。这里并不要求a和H中每个元素交换，只是要求H中的元素在任意“共轭变换”（\(g^{-1}hg\)）之后仍然能够落在子群H中。此条件即傍集之集为群的充要条件；并且由此定义一个群的正规子群：即能够使其傍集之集为群的子群，若傍集之集为群则称之为商群。因此，将一个群“粗糙化”舍弃掉一些信息使其变成一个小群“商群”的方法是找一个（非平凡）正规子群；这个过程或许可以命名为一种“除法”，正规子群是“除数”。（显然这里一定能“整除”。）

对于由群中的一个任意的子群而言，大群的所有元素可以简单分成两类：满足\(aH=Ha\)的和不满足的。将所有满足\(aH=Ha\)的元素归到一个集合中，这个集合就是一个群，称为子群H的正规化子，也就是最大的包含H作为其正规子群的子群，记作\(N(H)\)。这个记号似乎可以看成是一个“函数”。

2.2 中心

一个群的运算不一定是交换的，可能在某些元素上有交换性：某些元素与其他任何元素的运算都可交换，比如幺元。这些对其他任何元素具有交换性的元素之集是一个群，称为大群的中心。中心必定是正规子群，而且条件是在“共轭变换”下保持不动。

类似正规化子，我们也可以定义中心化子。对群的子集（注意是子集即可），取大群中所有能够与此子集中的元素都交换的元素作为一个集合，即子集的中心化子，通常记作\(C(S)\)。仔细思考\(C(G)\)（G是大群）即为G的中心。

3.群的外部关系：群同态

群到群的映射若保持两群的运算规则（可以理解为连同运算一起映射）即为群同态。显然同态必然将幺元映为幺元，逆元映为逆元，子群映为子群，正规子群映为正规子群，商群映为商群。此即对应定理。

“对称”的群同态，即一一映射，称为群同构；而同构的两群实际上是完全一样的，只是元素的表示花样不一样罢了（所以可以视同构为“相等”）。而“非对称”的同态，只可能将一个群投影“变小”（即像的阶数变小）。这样的同态只能将一个群投影为一个小群（满射而非单射）或者投影为另一个更大群的一部分（单射而非满射）。显然“不对称”的情况下同态会将多个元素映为一个点，例如映为像中的幺元。这些被映到幺元的元素组成一个子群，称为同态的核（Ker）。同态的核显然是一个正规子群，这是由像中幺元的交换性质反推得出的。对于同态\(f\)，一个群“除以”同态核\(Kerf\)就等于像\(Imf\)，此即同态基本定理。