随笔分类 - 多项式/矩阵/生成函数
摘要：CF1540E - Tasty Dishes 题目大意 给定序列$a_i$，保证$|a_i|\leq i$ 以及一个变换： \(\displaystyle a_i\leftarrow \sum_{j\in S_i} max\{a_j,0\}\cdot j+\left\{\begin{aligned}
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摘要：矩阵的特征值和特征向量 定义 对于$n$阶方阵$A$，若存在非零列向量$x$和数$\lambda$满足$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$和$x$为一组对应的特征值和特征向量 在确定了特征值之后，可以得到对应$x$的无穷多个解 求解特征值和特征向量： 容易发现，$\lambda$是一
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摘要：CF1392I - Kevin and Grid 题目大意 给定一张网格图，每个点上$(i,j)$写着$a_i+b_j$ 对于一个给定阈值$x$，将图分为$a_i+b_j<x$和$a_i+b_j\ge x$两组连通块 定义一个能够连通到网格图边界的连通块的价值为1，否则为2 有$q$次查询，每次给定
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摘要：「TJOI / HEOI2016」求和 题目大意： 求$\displaystyle \sum_^n\sum_i \begini\ j\end2j\cdot j!$ 由于第二类斯特林数的生成函数$S_m(x)=\cfrac{1}{m!}(e^x-1)^m$ 所以求的东西就是$\displaystyle
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摘要：%EI 笔记： 一类特殊的线性求和 话不多说先%%%%%EI 对于给定的常数列$a_i,i\in[0,n]$ 对于一些可以肉眼描述特征的多项式$F(x)$，以及一类特殊的$G(x)$（常见的$G(x)$为$e^x,a_i=i!$） 具体的，能够对于$F(x)$列出一条较为简单的微分方程，如$F(x)
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摘要：Luogu P7445「EZEC-7」线段树 显然一个点是否被$\text$仅取决于所有完全包含它的操作区间权值之和 那么可以考虑对于每个节点计算概率，然后累加 反向计算一个节点不被$\text$的概率，即权值之和为$0$的概率 而每个节点有自己被覆盖的概率，即$p_i=\cfrac{l\cdot
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摘要：幂前缀和的生成函数 问题描述： 对于给定的大数$m$，求$\displaystyle k\in[1,n],F_k=\sum _m ik$ \(F_k=\sum _{i=1}^m i^k\)，每一项的组合意义即：为$k$个元素每个染上$i$种颜色中的一个 下面是用斯特林数的推导 带入第二类斯特林数的组
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摘要：「ZJOI2018」树 前言 置换同构计数真是令人头大，感觉依然不是特别懂 \(\ \) 分析与初步构想 设按照题意生成的$n$个节点有标号有根树族为$\mathcal_n$，对于某种树形$T$的生成方案数为$c(T)$ 则答案显然是$\cfrac{\sum _{T\in \mathcal_n} c
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摘要：[NOI Online #3 提高组] 优秀子序列 这个题怎么不直接取名 集合幂级数$\text$呢 优秀的子序列中任意两个元素01位无交，这是一个标准的子集卷积形式 $\varphi$的计算显然与$a_i$的卷积独立，可以线性筛/埃氏筛 暴力 可以暴力$3^{18}$过，枚举时为了避免重复可以通过
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摘要：[NOI Online 2021 提高组] 愤怒的小N 暴力 倍增维护$[x,x+2^d)$内部所有$b$的权值和 以及$a$的，用多项式表示 具体的，维护两个多项式$F_0(x),F_1(x)$，每次倍增的转移如下 \(F_0(x)\leftarrow F_0(x)+F_1(x+d)\) \(F_
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摘要：「2020-2021 集训队作业」Yet Another Permutation Problem 题目大意 对于一个初始为$1,2,\ldots n$的排列，每次操作为选择一个数放到开头或者结尾，求$k$次操作能够生成的排列数 对于$k=0,1,\ldots ,n-1$求解 \(\ \) 模型转化
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摘要：无标号有根树/无根树 计数 当然是从有根树开始啦 树计数容易想到递归进行，设$n$个节点有根树的$\text$为$F(x)$ 我们考虑$F(x)\(作为新根节点的子树的情况，这是一个可置换的背包问题，被称为\)\text$变换 不妨对于$F(x)$的每一项考虑，我们从$F_k$这么多种类的数中选择一
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摘要：有标号二分图计数 求 \(n\) 个点的有标号二分图数目 容易想到一个会重复的计算方法：暴力把图剖成两个集合，然后集合间随意连边 \(G_n=\displaystyle \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}2^{i(n-i)}\) 而如果一个二分图包含$t$个连通块，那么在$G$中它会
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摘要：有标号荒漠计数 考虑随意选择一个点为根，则仙人掌的$\text$考虑用以下方式递归生成 令树边为二元环，则一个点周围的点都是都是与它直接相连的环 断开这个点，对于周围断开的环，环上每个点下面认为是一个仙人掌，设某个环断开之后的大小为$c$ 当$c=1$时，不需要考虑排列重复，即为$F(x)$ 当$c
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摘要：AtCoder Regular Contest 115 #D Solution1 考虑用$\text\(来理解这个式子，容易发现\)\text$之后求积的式子，满足 对于任意$(u_i,v_i)$ 如果$u_i,v_i$中有一者被选择，答案为0，否则权值$\times 2$ 那么显然对于一个连通块，
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摘要：有标号DAG计数 题目大意：求$n$个点有标号弱连通$\text$数量 如果你做过类似 「CEOI2019」游乐园 这样常见的$\text$计数问题 就会对于统计$\text$数量的这个容斥方法十分熟悉 枚举图分层，设当前已经确定的层中点集为$S$，下一层点集为$T$ \(dp_{S+T}\left
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摘要：「ZJOI2020」抽卡 Sub1: 从$n$张卡中选取钦定的$m$张的期望次数 令$f_m$表示期望次数，显然$m>0,f_m=\frac{(n-m)f_m+mf_}+1$ 即$f_0=0,f_m=f_+\frac$ 即$\displaystyle f_m=\sum_^m \frac$ Minma
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摘要：CF Round#698 Div1. Nezzar and Chocolate Bars 前言 这就是大道至简吗。。 为什么和某ZJOI开关一样，到最后就是个背包。。 题目大意： 给定$n,K$和一些棍子长度为$l_i(i\in [1,n])$（实数！） 每次随机选择一根棍子，概率与$l_i$成正比
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摘要：「CEOI2020」星际迷航 首先是最简单的判断是否必胜的$dp$转移$\displaystyle dp_u=\bigcup_{v\in son_u} \text dp_$ 考虑第$i+1$层对于第$i$层的贡献，实际上只和$i+1$层有多少个点$dp$值为0/1有关 下面称$dp$值为0/1的点为
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摘要：「USACO 2020.12 Platinum」Spaceship 看到题目第一个想到的是：按照路径长度可以确定按钮次数和路径次数 然而路径长度是$2^k$级别的。。 下文认为$n,q,k$同阶 既然无法考虑长度，那么就直接在$dp$时将路径作为状态压入 令$dp_{i,s,t}$表示前面$i$个按
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