有标号DAG计数

有标号DAG计数

题目大意：求\(n\)个点有标号弱连通\(\text{DAG}\)数量

如果你做过类似 「CEOI2019」游乐园 这样常见的\(\text{DAG}\)计数问题

就会对于统计\(\text{DAG}\)数量的这个容斥方法十分熟悉

枚举图分层，设当前已经确定的层中点集为\(S\)，下一层点集为\(T\)

\(dp_{S+T}\leftarrow dp_{S}\times 2^{|S|\cdot |T|}(-1)^{|T|+1}\)

其中\(|S|\cdot |T|\)为层间随意连的边数量，\((-1)^{|T|+1}\)是针对分层不唯一的容斥

当然这样统计出的\(\text{DAG}\)是不连通的

那么我们先考虑用卷积来维护这样的一个图

设分层大小为\(a_i,i\in[1,m],n=\sum a_i\)，则上式的变化形式就是

\(\displaystyle \frac{\displaystyle n!2^{\binom{n}{2}}}{\displaystyle \prod a_i!(-1)^{a_i+1}2^{\binom{a_i}{2}}}\)

其中\(\displaystyle \binom{n}{2}-\sum \binom{a_i}{2}\)就能得出层间边的数量

那么令\(\displaystyle F(x)=\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n!2^{\binom{n}{2}}}\) ，由于层间有序，答案是

\(\displaystyle G(x)=\sum F^i(x)=\frac{1}{1-F(x)}\)

求逆一次即可得到\(G(x)\)，然后补上式子中的系数\(\displaystyle 2^{\binom{n}{2}}\)

显然不连通的\(\text{DAG}\)转为连通\(\text{DAG}\)只需要再求一次$\ln $即可

注意计算的时候是以\(\text{EGF}\)的形式，最后要补回阶乘

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef pair <int,int> Pii;
typedef vector <int> V;
#define reg register
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define Mod1(x) ((x>=P)&&(x-=P))
#define Mod2(x) ((x<0)&&(x+=P))
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)

#ifndef ONLINE_JUDGE
#define LOG(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#else
#define LOG(...) 
#endif

char IO;
template <class T=int> T rd(){
	T s=0; int f=0;
	while(!isdigit(IO=getchar())) f|=IO=='-';
	do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
	while(isdigit(IO=getchar()));
	return f?-s:s;
}

const int L=18,N=1<<L|10,P=998244353;

ll qpow(ll x,ll k=P-2) {
	ll res=1;
	for(;k;k>>=1,x=x*x%P) if(k&1) res=res*x%P;
	return res;
}

int I[N],J[N];
int rev[N],w[N];
void Init(){
	w[1<<(L-1)]=1;
	int t=qpow(3,(P-1)>>L);
	rep(i,(1<<(L-1))+1,1<<L) w[i]=1ll*w[i-1]*t%P;
	drep(i,(1<<(L-1))-1,1) w[i]=w[i<<1];
	rep(i,J[0]=1,N-1) J[i]=1ll*J[i-1]*i%P;
	I[N-1]=qpow(J[N-1]);
	drep(i,N-1,1) I[i-1]=1ll*I[i]*i%P;
}
int Init(int n){
	int R=1,c=-1;
	while(R<=n) R<<=1,c++;
	rep(i,0,R-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<c);
	return R;
}
void NTT(int n,V &A,int f) {
	static ull a[N];
	if((int)A.size()<n) A.resize(n);
	rep(i,0,n-1) a[rev[i]]=A[i];
	for(int i=1;i<n;i<<=1) {
		int *e=w+i;
		for(int l=0;l<n;l+=i*2) {
			for(int j=l;j<l+i;++j) {
				int t=a[j+i]*e[j-l]%P;
				a[j+i]=a[j]+P-t;
				a[j]+=t;
			}
		}
	}
	rep(i,0,n-1) A[i]=a[i]%P,Mod2(A[i]);
	if(f==-1) {
		reverse(A.begin()+1,A.end());
		ll base=1ll*I[n]*J[n-1]%P;
		rep(i,0,n-1) A[i]=A[i]*base%P;
	}
}

V operator + (V a,const V &b) {
	if(a.size()<b.size()) a.resize(b.size());
	rep(i,0,b.size()-1) a[i]+=b[i],Mod1(a[i]);
	return a;
}
V operator - (V a,const V &b) {
	if(a.size()<b.size()) a.resize(b.size());
	rep(i,0,b.size()-1) a[i]-=b[i],Mod2(a[i]);
	return a;
}
V operator * (V a,V b) {
	int n=a.size()-1,m=b.size()-1;
	int R=Init(n+m);
	NTT(R,a,1),NTT(R,b,1);
	rep(i,0,R-1) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;
	NTT(R,a,-1),a.resize(n+m+1);
	return a;
}
void println(const V &a){
	for(int i:a) printf("%d ",i);
	puts("");
}
V read(int n){
	V A(n);
	rep(i,0,n-1) A[i]=rd();
	return A;
}
V operator ~ (V a) {
	int n=a.size(),m=(n+1)>>1;
	if(n==1) return {(int)qpow(a[0])};
	V b=a; b.resize(m),b=~b;
	int R=Init(n*2);
	NTT(R,a,1),NTT(R,b,1);
	rep(i,0,R-1) a[i]=(P+2-1ll*a[i]*b[i]%P)*b[i]%P;
	NTT(R,a,-1),a.resize(n);
	return a;
}
V Deriv(V a) {
	rep(i,0,a.size()-2) a[i]=1ll*(i+1)*a[i+1]%P;
	a.pop_back();
	return a;
}
V Integ(V a){
	a.pb(0);
	drep(i,a.size()-1,1) a[i]=1ll*a[i-1]*J[i-1]%P*I[i]%P;
	a[0]=0;
	return a;
}
V Ln(V a){
	int n=a.size();
	a=Deriv(a)*~a;
	return a.resize(n-1),Integ(a);
}
int Div2(int x){ return (x&1?x+P:x)/2; }
int Pow[N],IPow[N];

int main(){
	int n=rd();
	Init();
	Pow[0]=Pow[1]=IPow[0]=IPow[1]=1;
	for(int i=2,x=2,y=(P+1)/2;i<N;i++,x*=2,Mod1(x),y=Div2(y)) {
		Pow[i]=1ll*Pow[i-1]*x%P;
		IPow[i]=1ll*IPow[i-1]*y%P;
	}
	V F(n+1);
	rep(i,1,n) {
		F[i]=1ll*I[i]*IPow[i]%P;
		if(~i&1) F[i]=-F[i],Mod2(F[i]); // 这个是容斥系数 
		F[i]=P-F[i];// 这个是1-F
	}
    // 这个是1-F
	F[0]=1;
	F=~F;
	rep(i,0,n) F[i]=1ll*F[i]*Pow[i]%P;
    // 补回系数，然后做一次ln
	F=Ln(F);
	rep(i,0,n) F[i]=1ll*F[i]*J[i]%P;
	rep(i,1,n) printf("%d\n",F[i]);
}