矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量
定义
对于\(n\)阶方阵\(A\)，若存在非零列向量\(x\)和数\(\lambda\)满足\(Ax=\lambda x\)，则称\(\lambda\)和\(x\)为一组对应的特征值和特征向量
在确定了特征值之后，可以得到对应\(x\)的无穷多个解
求解特征值和特征向量：
容易发现，\(\lambda\)是一个特征值，只需要满足\(Ax=\lambda x\)有解，以\(x\)为元容易列出方程，其常数项为均0，系数矩阵为
\(\begin{bmatrix}\array{\lambda-A_{1,1}& -A_{1,2}& -A_{1,3}& \cdots & -A_{1,n}\\ -A_{2,1}&\lambda- A_{2,2} & -A_{2,3}& \cdots & -A_{2,n}\\ -A_{3,1} & -A_{3,2} & \lambda-A_{3,3} & \cdots & -A_{3,n}\\ \vdots& \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ -A_{n,1} & -A_{n,2} & -A_{n,3} &\cdots & \lambda-A_{n,n}}\end{bmatrix}=\lambda I-A\)
其中\(I\)是单位矩阵
这个方程有非零解的充要条件是：\(|\lambda I-A|=0\) （因为如果不为0，则矩阵满秩，所有向量线性无关，无法得到0向量）
而\(|\lambda I-A|\)是一个\(n\)次多项式\(p(\lambda)\)，称为特征多项式，所有的特征值\(\lambda\)就是\(p(\lambda)\)的根
应用
加速矩阵乘法：
由\(Ax=\lambda x\)，迭代该式可以得到\(A^nx=\lambda^nx\)
特殊矩阵的特征值
上三角矩阵
\(\lambda I-A=\begin{bmatrix}\array{\lambda-A_{1,1}& -A_{1,2}& -A_{1,3}& \cdots & -A_{1,n}\\ 0 & \lambda-A_{2,2} & -A_{2,3}& \cdots & -A_{2,n}\\ 0 & 0 & \lambda-A_{3,3} & \cdots &-A_{3,n}\\ \vdots& \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & \lambda-A_{n,n}}\end{bmatrix}\)
带入行列式即可知道\(\displaystyle |\lambda I-A|=\prod (\lambda -A_{i,i})\)
也就是说，主对角线上所有的\(A_{i,i}\)都是\(|\lambda I-A|=0\)的根
