摘要： 第 5 题 【题目】 证明：不存在整系数多项式 \(f(x)\)，使得 \(f(0) = 1\)，\(f(2) = 5\)，\(f(4) = 13\)。 【证明】 设存在满足条件的整系数多项式 \(f(x) \in \mathbb{Z}[x]\)。 根据题意，我们可以将原插值条件转化为多项式的同余方 阅读全文

摘要： 第 5 题 【题目】 (15 分) 求证： (a). 对任意矩阵 \(A\)，矩阵方程 \(AXA = A\) 均有解。 (b). 若矩阵方程 \(AY = C\)，\(ZB = C\) 有解，则矩阵方程 \(AXB = C\) 也有解。 【解答】 (a) 设 \(A\) 的秩为 \(r\)，其等价 阅读全文

摘要： 多项式综合测试卷 考试时间：120分钟 满分：100分 一、计算题（本题满分10分） 计算 \[P = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i - x_j)^2 \]其中 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 是 \(n\) 次单位根。 二、解答题（本题满分10 阅读全文

摘要： 定理陈述 设 \(g(x)\) 是一个以 \(T\) 为周期的周期函数，且在 \([0, T]\) 上 Riemann 可积。记 \(g(x)\) 在一个周期内的平均值为： \[\bar{g} = \frac{1}{T} \int_0^T g(t) dt \]若 \(f(x)\) 在闭区间 \([a 阅读全文

摘要： 题目 如图所示，\(\triangle ABC\) 内一点 \(P\) 在边 \(BC\)、\(CA\)、\(AB\) 上的射影分别为点 \(D\)、\(E\)、\(F\)，过 \(D\)、\(E\)、\(F\) 三点的圆与 \(BC\)、\(CA\)、\(AB\) 的第二个交点分别为 \(M\)、 阅读全文

摘要： 证明命题:任意非零有理系数多项式 \(f(x)\)，均可表示为两个有理数域上不可约多项式之和。 引理1 设 \(p_1,p_2\) 为不同的素数，则存在整数 \(a,b \in \mathbb{Z}\)，满足 \[ap_1 + bp_2 = 1 \]且 \(p_1 \nmid a\)，\(p_2 \ 阅读全文