厦门大学第十九届景润杯真题（高等代数部分）

第 5 题

【题目】

(15 分) 求证：
(a). 对任意矩阵 \(A\)，矩阵方程 \(AXA = A\) 均有解。
(b). 若矩阵方程 \(AY = C\)，\(ZB = C\) 有解，则矩阵方程 \(AXB = C\) 也有解。

【解答】

(a) 设 \(A\) 的秩为 \(r\)，其等价标准形表示为：

\[A = P \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n} Q \]

其中 \(P, Q\) 分别为 \(m, n\) 阶非异阵（可逆矩阵）。

令 \(X = Q^{-1} \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{n \times m} P^{-1}\)。

通过直接计算验证：

\[AXA = P \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n} Q \cdot Q^{-1} \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{n \times m} P^{-1} \cdot P \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n} Q \]

\[= P \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n} \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{n \times m} \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n} Q \]

\[= P \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n} Q = A \]

故矩阵方程 \(AXA = A\) 必有解。

(b) 由 (a) 问结论，存在矩阵 \(M\) 使得 \(CMC = C\) 成立。

已知方程 \(AY = C\) 和 \(ZB = C\) 有解，将其代入上式中：

\[AY \cdot M \cdot ZB = (AY) M (ZB) = C M C = C \]

整理上式可得：

\[A(YMZ)B = C \]

由此可知，\(X = YMZ\) 即为矩阵方程 \(AXB = C\) 的一个解。 \(\quad \square\)

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第 6 题

【题目】

(10 分) 设 \(V, U\) 为有限维复线性空间，\(\varphi \in \mathcal{L}(V)\)，\(\psi \in \mathcal{L}(U)\)，并且存在 \(\sigma \in \mathcal{L}(V, U)\)，使得 \(\sigma \varphi - \psi \sigma = 0\)。记 \(d(\lambda) = (f_{\varphi}(\lambda), f_{\psi}(\lambda))\)，求证：\(\dim \ker \sigma \ge \dim V - \deg d(\lambda)\)。

【解答】

我们将该线性算子的命题转化为等价的矩阵形式：
设 \(\dim V = n\)，\(\dim U = m\)。在特定基底下，算子 \(\varphi, \psi, \sigma\) 分别对应矩阵 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)，\(B \in \mathbb{C}^{m \times m}\) 和 \(X \in \mathbb{C}^{n \times m}\)。
算子关系 \(\sigma \varphi - \psi \sigma = 0\) 等价于矩阵方程 \(AX = XB\)。
由于 \(\dim \ker \sigma = n - r(X)\)，要证的结论等价于证明：

\[r(X) \le \deg d(\lambda) \]

设 \(X\) 的秩为 \(r\)，将其进行标准形化简：

\[X = P \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q \]

其中 \(P \in \mathbb{C}^{n \times n}\)，\(Q \in \mathbb{C}^{m \times m}\) 为可逆矩阵。
由 \(AX = XB\) 可得：

\[(P^{-1} A P) \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix} (Q B Q^{-1}) \]

因此，不妨直接设 \(X = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{n \times m}\)。

此时，有关系式：

\[(\lambda I_n - A) \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{n \times m} = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{n \times m} (\lambda I_m - B) \quad (*) \]

设分块矩阵表示为：

\[\lambda I_n - A = \begin{pmatrix} A_1(\lambda)_{r \times r} & A_2(\lambda)_{r \times (n-r)} \\ A_3(\lambda)_{(n-r) \times r} & A_4(\lambda)_{(n-r) \times (n-r)} \end{pmatrix} \]

\[\lambda I_m - B = \begin{pmatrix} B_1(\lambda)_{r \times r} & B_2(\lambda)_{r \times (m-r)} \\ B_3(\lambda)_{(m-r) \times r} & B_4(\lambda)_{(m-r) \times (m-r)} \end{pmatrix} \]

将分块表示代入 \((*)\) 式两边展开相比较，得到：

\[\begin{pmatrix} A_1(\lambda) & O \\ A_3(\lambda) & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_1(\lambda) & B_2(\lambda) \\ O & O \end{pmatrix} \]

对照分块位置，必有：

\[A_1(\lambda) = B_1(\lambda), \quad A_3(\lambda) = O, \quad B_2(\lambda) = O \]

由此可得：

\[\lambda I_n - A = \begin{pmatrix} A_1(\lambda) & A_2(\lambda) \\ O & A_4(\lambda) \end{pmatrix} \implies |\lambda I_n - A| = |A_1(\lambda)| \cdot |A_4(\lambda)| \]

\[\lambda I_m - B = \begin{pmatrix} B_1(\lambda) & O \\ B_3(\lambda) & B_4(\lambda) \end{pmatrix} \implies |\lambda I_m - B| = |B_1(\lambda)| \cdot |B_4(\lambda)| = |A_1(\lambda)| \cdot |B_4(\lambda)| \]

上式表明，多项式 \(|A_1(\lambda)|\) 既是 \(|\lambda I_n - A|\) 的因式，又是 \(|\lambda I_m - B|\) 的因式。
因此，它必然整除两者的最大公约式 \(d(\lambda)\)：

\[|A_1(\lambda)| \ \Big| \ d(\lambda) \]

从而在次数上满足：

\[\deg d(\lambda) \ge \deg |A_1(\lambda)| = r = r(X) \]

即 \(\dim \ker \sigma \ge \dim V - \deg d(\lambda)\) 成立。 \(\quad \square\)

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第 7 题

【题目】

(10 分) 设实二次型 \(f(X) = X^T A X\)，其中 \(n\) 阶实方阵 \(A\) 未必为对称矩阵，并且 \(\det A < 0\)。求证：存在实数 \(a_1, \dots, a_n\)，使得 \(f(a_1, \dots, a_n) < 0\)。

【解答】

对于实矩阵 \(A\)，其复特征值必定共轭成对出现，共轭特征值的乘积总大于 \(0\)（\(\lambda \bar{\lambda} = |\lambda|^2 > 0\)）。
因为 \(\det A < 0\)，所有特征值的乘积为负，这说明 \(A\) 必定存在奇数个实负特征值。
因此， \(A\) 至少存在一个实负特征值，记为 \(-\mu\)（其中 \(\mu > 0\)）。

根据实舒尔（Schur）分解定理，存在一个实正交矩阵 \(P\) 使得 \(P^T A P = U\) 为实准上三角矩阵。由于 \(-\mu\) 是实特征值，我们可以通过调整特征值顺序，将其置于对角线的最右下角（即第 \(n\) 行第 \(n\) 列的 \(1 \times 1\) 分块）。

因此，矩阵 \(U\) 可以写为如下分块形式：

\[U = P^T A P = \begin{bmatrix} B & C \\ O & -\mu \end{bmatrix} \]

其中 \(B\) 为 \((n-1) \times (n-1)\) 阶矩阵，\(C\) 为 \((n-1) \times 1\) 阶列向量，左下角为零行向量 \(O_{1 \times (n-1)}\)。

考虑 \(U\) 的对称化形式：

\[\frac{U + U^T}{2} = \begin{bmatrix} \frac{B+B^T}{2} & \frac{C}{2} \\ \frac{C^T}{2} & -\mu \end{bmatrix} \]

取实标准基底向量 \(\varepsilon_n = (0, 0, \dots, 0, 1)^T \in \mathbb{R}^n\)，直接计算可得：

\[\varepsilon_n^T \left( P^T \frac{A + A^T}{2} P \right) \varepsilon_n = \varepsilon_n^T \left( \frac{U + U^T}{2} \right) \varepsilon_n = -\mu < 0 \]

即：

\[(P \varepsilon_n)^T \frac{A + A^T}{2} (P \varepsilon_n) < 0 \]

对于任意实向量 \(X\)，二次型均满足 \(X^T A X = X^T \frac{A + A^T}{2} X\)。
令实向量 \(a = (a_1, \dots, a_n)^T = P \varepsilon_n\)，代入二次型得：

\[f(a) = a^T A a = a^T \frac{A + A^T}{2} a = (P \varepsilon_n)^T \frac{A + A^T}{2} (P \varepsilon_n) = -\mu < 0 \]

故存在实数 \(a_1, \dots, a_n\) 使得 \(f(a_1, \dots, a_n) < 0\) 成立。 \(\quad \square\)