厦门大学25级惊悸学院各统计学、双学位高等代数小测（多项式章节）

多项式综合测试卷

考试时间：120分钟 满分：100分

一、计算题（本题满分10分）

计算

\[P = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i - x_j)^2 \]

其中 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 是 \(n\) 次单位根。

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二、解答题（本题满分10分）

求使

\[1 + x^n + x^{2n} + \cdots + x^{mn} \]

能被

\[1 + x + x^2 + \cdots + x^m \]

整除的所有正整数对 \((m, n)\)。

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三、证明题（本题共70分，1-6题每题10分，7题20分）

1. 设

   \[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a_0 + a_1\sqrt{2} + a_2\sqrt{4} + \cdots + a_{n-1}\sqrt{2}^{\,n-1} \mid a_i \in \mathbb{Q},\ 0 \leq i \leq n-1\}, \]

   证明：\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 是一个数域，并求 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 作为 \(\mathbb{Q}\) 上线性空间的一组基。

2. 证明：

   \[x^n + ax^{n-m} + b \quad (b \neq 0) \]

   不能有重数大于2的重根。

3. 设 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 是互不相同的整数。
   (1) 证明多项式

   \[(x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n) - 1 \]

   是不可约的。
   (2) 讨论多项式

   \[(x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n) + 1 \]

   的可约性。

4. 设 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是非常数复系数多项式，它们有相同的零点集合，这些零点两两互异，但作为 \(P(x)\) 的零点的重数与作为 \(Q(x)\) 的零点的重数未必相同。还设对于多项式

   \[p(x) = P(x) + 1,\quad q(x) = Q(x) + 1, \]

   同样的性质也成立。证明：\(P(x) \equiv Q(x)\)，即 \(P(x)\) 与 \(Q(x)\) 恒等。

5. 若多项式 \(P(x)\) 可以写成 \(s \ (s \geq 2)\) 个具有正系数非常数多项式的积，则称作正可约的。证明：如果多项式 \(f(x)\) 满足 \(f(0) \neq 0\)，并且对于某个正整数 \(n\)，\(f(x^n)\) 是正可约的，那么 \(f(x)\) 是正可约的。

6. 设 \(x_1, x_2, \dots, x_{1000}\) 是整数，满足对任意不大于672的正整数 \(k\)，

   \[\sum_{i=1}^{1000} x_i^k \]

   都是2017的倍数。求证：\(x_1, x_2, \dots, x_{1000}\) 都是2017的倍数。

7. 设

   \[f(x) = x^{2021} + a_{2020}x^{2020} + a_{2019}x^{2019} + \cdots + a_1x + a_0 \]

   为整系数多项式，且 \(a_0 \neq 0\)。设对任意的 \(0 \leq k \leq 2020\)，有 \(|a_k| \leq 40\)。证明：\(f(x) = 0\) 的根不可能全为实数。