天线基础原理与各项基本参数一文速通

天线基础与参数

天线概述

天线的相关概念

• 天线的定义

  天线是辐射或接收电磁波的装置，是一种将传输线中的导行波与空间中的自由空间波（即辐射波）进行相互转换的器件

  举个比方：导线是水管，天线是花洒，水管里的水是导行波，水管里的水通过花洒四处喷就成了辐射波

• 导行波与辐射波

  导行波是在导线里传输的电信号/电磁波，而辐射波则是被释放出来，能向远方传播的无线电波，电磁波的能量不再被导线束缚，但传播的方向和效率需要通过天线的特别设计来控制

  两种波的对比如下：

  特性	导行波（传输线内）	辐射波（天线外）
  等相位面	平面（均匀无耗）	球面（在远场可近似为均匀平面波）
  振幅	基本不变	随距离衰减
  波阻抗	与介质、结构有关	趋于\(η_0=\frac {μ_0}{ε_0}≈377Ω\)
  能量	束缚在结构附近	向外传播
  与源的关系	始终连接源	时变场相互激发可脱离源独立传播

天线的分类

• 按天线特性分类

  • 方向特性：强方向性天线与弱方向性天线
  • 极化特性：天线所辐射或有效接收的电磁波的极化方式，分为线极化/圆极化/椭圆极化天线
  • 频带特性：窄频带、宽频带、超宽频带天线

• 按天线电流分类

  行波天线、驻波天线

• 按天线原理与外形分类

  • 线天线：电流分布产生辐射

  • 反射面天线：利用理想导体反射

  • 微带天线：贴片边缘场辐射，利用边界条件与介质谐振

  • 阵列天线：利用叠加原理

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天线的理论基础

天线问题的辐射解

• 位函数法求辐射解

  在时变电磁场的位函数一节中定义了时变电磁场可以用矢量位与标量位来描述

  由此我们以\(A\)与\(φ\)这两个位为中间量，先通过求解泊松方程得到这两个位，再用\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)和\(E=-jωA−∇φ\)求得辐射解，这种方法称为位函数法

  后文分别推导位函数法用到的标量位与矢量位公式，先解静电场的电位泊松方程，再利用对偶原理直接从静电场的解推导出磁场的解：

• 静电场泊松方程的解

  1. 静电场标量位有泊松方程\(∇²φ=-\frac{ρ}{ε_0}\)，现在解这个泊松方程，根据唯一性定理，泊松方程的解是唯一的，得到的标量位可以被唯一确定

  2. 我们已知点电荷的产生场强\(E=\frac{1}{4πε_0}⋅\frac{Q}{r^2}\)，电位的定义是场强的线积分\(φ(P)=-\int^p_{参考零点}\vec E \cdot d \vec l\)

     因此，对于点电荷，其电位应该是\(φ(r)=\frac{Q}{4\piε_0 r}\)，用格林函数\(G(r, r')\)表示位于\(r'\)处的单位点电荷在\(r\)处产生的电位，即\(G(r, r') = \frac{1}{4\piε_0 |r - r'|}\)

  3. 已知单位点电荷的电位函数\(G\)后进行积分，得到所有点电荷的贡献叠加而成的电位\(φ(r)=\int ρ(r')G(r,r')dV\)

     这一步与求解有多个点电荷的系统的电场强度原理一致：将多个点源造成的影响矢量叠加得到总电场

  4. 再代入\(G(r,r')\)的表达式可得泊松方程的解\(φ(r)=\frac{1}{4πε_0}\iiint_v \frac{ρ(r')}{|r-r'|}dV\)

• 对偶原理求矢量位方程

  1. 磁矢位同有泊松方程\(\nabla^2A=-μJ\)（具体推导过程见前文磁矢位方程），现在要求这个方程的解

  2. 解矢量位，关键在于使用对偶原理：电流、电荷产生的场和磁流、磁荷产生的场方程形式一致，解的形式也会是一致的

  3. 将已求出的电场标量位的对应量替换，电位\(φ\)换为矢量位\(A\)，电荷密度\(ρ\)换为电流密度\(j\)，介电常数倒数\(\frac{1}{ε_0}\)换为磁导率\(μ_0\)，就得到\(A(r)=\frac{μ_0}{4π} ∫\frac{J(r')}{|r-r'|}d{V}\)

     将这个解取拉普拉斯算子也就是原来的泊松方程\(\nabla^2A=-μJ\)，证明了使用对偶原理可以得到磁场泊松方程的解

• 时变场位函数的相位因子

  上述推导都是对静态场的，对时变场的位函数，引入相位因子\(e^{-jkR}\)：

  • \(A(r)=\frac{μ_0}{4π} \iiint_v\frac{J(r')e^{-jkR}}{R}d{V}\)（其中\(R=|r-r'|\)，\(k=ω\sqrt{μ_0ε_0}\)）
  • \(φ(r)=\frac{1}{4πε_0}\iiint_v \frac{ρe^{-jkR}}{R}dV\)

• 矢量位公式的物理意义

  • 矢量位公式表明：空间某点\(r\)的矢量位，等于在\(V\)中所有电流源\(J\)贡献的球面波(这个\(\frac {e^{-jkR}} R\)就是球面波因子)的叠加，幅度随\(\frac 1 R\)衰减，相位随 \(kR\)延迟

  • 此外，在获得矢量位方程后，取\(A\)的旋度\(\nabla×A\)，在静态场条件下恰好就得到毕奥-萨伐尔定律(过程省略)，这表明了静态场的矢量位公式与毕奥-萨伐尔定律是等价的，只是两种不同的表现形式

基本电偶极子

• 基本电偶极子概述

  基本电偶极子，又称电流元或赫兹偶极子

  正如静电场从点电荷开始——各种带电物体的电场视作无穷点电荷的叠加；

  平面波从均匀平面波开始——各种波面形状视作无穷均匀平面波的叠加；

  天线理论也需要一个最基本的模型——也就是基本电偶极子

  基本电偶极子是辐射的单元，它能解析求解、又能揭示辐射本质，任何复杂天线都可以视作多个基本电偶极子的叠加

• 基本电偶极子性质

  作为一个理想化模型，其拥有如下特性：

  • 长度\(l≪λ\)且导线半径远小于长度的极短导线（可视为点源）
  • 载有均匀时谐电流 \(I=I_0e^{jωt}\)（电流等幅同向）
  • 两端积累的电荷形成振荡偶极子

  在以上理想化条件下，基本电偶极子的辐射场可以从麦克斯韦方程组入手，利用电磁场的矢量位与标量位进行精确求解

  而基本电偶极子具备辐射的全部核心特征，其解可定义天线的各项核心参数

• 基本电偶极子的矢量位

  根据上文的矢量位公式，因为基本电偶极子的性质（长度极短，即电流可视作常数；电流只沿z方向，即矢量位只有z分量）公式可以被极大地简化：

  \(∫J(r')d{V}=∫Id\vec z=Il\vec e_z\)（\(I\)为电流振幅，\(l\)为偶极子长度）

  因此基本电偶极子的矢量位公式为\(A_z=\frac{μ_0}{4π}Il\frac {e^{-jkR}} R\)

  利用这一矢量位，在不同场区取不同近似，可以计算出基本电偶极子的辐射解

辐射场区划分

• 场区划分概述

  对有限尺寸的天线(如基本电偶极子)产生的球面波，在距离天线距离不同时会呈现不同的性质，为此根据辐射球面半径将天线周围的空间划分为不同的场区：

  • 近场区：又称感应近场区
  • 过渡区：又称辐射近场区、菲斯涅耳区
  • 远场区：又称弗朗霍法区

• 近场区

  • \(r<<λ\)（此时\(kr<<1\)，\(e^{-jkR}≈1\)）

  近场区具体公式省略，因为最终可以算出坡印廷矢量为虚数，意味着电场与磁场相位差90°，能量在电场和磁场之间交换，也即只储能，而不向外传播

  因为这一性质，称其本质上是准静态场（即感应场），不属于天线的研究范围

• 远场区

  • 条件为\(r>>λ\)

  基本电偶极子在远场区的辐射解为：

  \[E_θ≈j\frac {μ_0Ilω}{4πr}sinθe^{-jkr}=j\frac{Ilη_0}{2λr}sinθe^{-jkr}\ \ \ H_φ=\frac {E_θ}{η_0} \]

  • 在远场区，电场强度矢量只有\(θ\)分量，磁场强度矢量只有\(φ\)分量，其他分量都为0
    

  • 两者方向与电磁场传播方向\(r\)两两正交，属于TEM波，电场与磁场同相

  • 根据前文提到的对偶原理，由此看推导磁基本极子的辐射场(此处省略)

  对基本电偶极子，远场区的坡印廷矢量为：

  \[ S=\frac 12 Re[E×H^*]=\vec e_r\frac 12Re[E_θH_φ]=\vec e_r\frac{15π|Il|^2}{λ^2r^2}sin^2θ \ （H^*为取复共轭） \]

  得到坡印廷矢量是一个实数，代表有功功率，说明能量真正向外传播

  • 远场区是辐射场，电场与磁场平均能量密度相等，符合平面波特性(从几何来看，距离球心较近时是球面波，较远时就可近似为平面波)

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天线的核心参数

辐射方向图

• 辐射方向图函数

  所谓辐射方向图，就将天线的辐射参量随空间坐标\((θ,φ)\)的变化作图表示，为了便于作图一般要进行归一化处理：

  • 归一化功率方向图函数：\(P(θ,φ)=\frac {S(θ,φ)}{S_m(θ_0,φ_0)}\)，用当前方向坡印廷矢量比坡印廷矢量最大值得到

    作在对数坐标上：\(P(θ,φ)|_{db}=10lgP(θ,φ)\)

  • 归一化场强方向图函数：\(F(θ,φ)=\frac {E(θ,φ)}{E_m(θ_0,φ_0)}\)，用当前方向场强比场强最大值得到

    作在对数坐标上：\(F(θ,φ)|_{db}=20lgF(θ,φ)\)

  • 两者关系：\(P(θ,φ)=F^2(θ,φ)\)

• 辐射方向图的形式

  具体的图示与更详细的介绍参考：https://tutorialspoint.org.cn/antenna_theory/antenna_theory_radiation_pattern.htm

  辐射方向图有多种形式，如三维辐射方向图和二维辐射方向图，二维的方向图又可分为水平方向图与垂直方向图，而二维方向图中有主平面一说：

  • E面：电场矢量和最大辐射方向确定的面
  • H面：磁场矢量和最大辐射方向确定的面，与E面相互垂直

  通过辐射方向图，可以区分天线的类型：

  • 全向天线：在一个平面内均匀辐射（如基本电偶极子的H面）
  • 定向天线：能量集中在某个方向（如抛物面天线）

• 辐射方向图的元素

  在制出辐射方向图后，若各个方向的辐射强度不同，可辨识出类似花瓣的结构，称为波瓣，有概念如下：

  • 主瓣：辐射场的主要部分，覆盖最大的辐射区域，该瓣的方向即指向了天线的方向性
  • 副瓣：主瓣之外的波瓣，是辐射功率浪费的区域，其中与主瓣方向相反的瓣称为后瓣
  • 零辐射点：辐射为0的方向角度

• 辐射方向图的参数

  描述辐射方向图的参数

  • 副瓣电平：副瓣峰值与主瓣之间最大值之比，\(\frac {S(θ_1,φ_1)}{S_M}\)
  • 半功率波瓣宽度/3dB波瓣宽度：主瓣两个半功率点之间的角度，即从最大功率到其一半的范围；在场强方向图中，即最大场强\(\frac{1}{\sqrt 2}\)的两点之间的角度
  • 第一零点波瓣宽度\(2θ_0\)：主瓣两侧第一零点之间的角度
  • 前后比：主瓣最大值与后瓣最大值之比

• 基本电偶极子的辐射方向图

  以基本电偶极子为例演示辐射方向图参数：

  • 归一化场强方向图函数：\(F(θ)=sin⁡θ\)

  • 半功率波瓣宽度：\(90°\)（从\(θ=45°\)到\(θ=135°\)）

  • 第一零点：\(θ=0°\)和\(θ=180°\)（轴向方向）

  • 前后比：\(1\)（因为前后对称）

天线辐射总能特性

• 辐射功率\(P_r\)

  天线辐射出去的总功率，等于穿过包围天线封闭球面的坡印廷矢量的积分

  \[P_r=\oint_s S_{av} dS=\frac 12 \oint_s \frac{|E|^2}{η_0} dS=\frac 12 \int^{2π}_0\int^π_0 \frac{|E|^2}{η_0} r^2sinθ dθdφ \]

  • 以基本电偶极子为例求辐射功率：\(P_r=\frac{πη_0}{3}(\frac{Il}{λ})^2=40π^2I^2(\frac{l}{λ})^2\)（代入\(η_0=120π\)）

    可见辐射功率与\((\frac{l}{λ})^2\)成正比

• 辐射强度\(U\)

  天线在某个方向的单位立体角（\(dΩ=\frac {ds}{r^2}=sinθdθdφ\)）的辐射功率，即坡印廷矢量的角度分布

  用于描述辐射能量在空间不同方向的分布情况，只关乎角度，与距离无关

  • 由辐射强度的定义可知其与辐射功率的关系：将所有方向上辐射强度积分即得辐射功率\(P_r=\int_Ω U(θ，φ)dΩ=\int^{2π}_0\int^π_0 U(θ,φ) sinθ dθdφ\)，反之可得辐射强度的定义式：

    \[U(θ，φ)=\frac{dP_r(θ,φ)}{dΩ}=\frac{S_r(θ,φ)ds}{dΩ} \]

  • 综上可得辐射强度的计算公式：

    \[U(θ，φ)=S(θ,φ)r^2=\frac12 \frac{|E(r,θ,φ)|^2}{η_0}r^2 \]

  • 另外有平均辐射强度为\(U_{av}=\frac{P_r}{4π}\)

天线辐射方向特性

• 方向系数\(D\)

  天线在某一确定方向的方向系数是该辐射方向的辐射强度与平均辐射强度之比，定义式为：

  \[D(θ,φ)=\frac{U(θ,φ)}{U_{av}} \]

  用于描述天线将能量集中到某个方向的能力

  • 设辐射电磁为\(E=E_mF(θ,φ)\)，以此表示辐射强度与平均辐射强度：

    坡印廷矢量为\(S=\frac{E^2}{2η_0}=\frac{E_m^2F^2(θ,φ)}{2η_0}\)，以此表示辐射强度得\(U(θ,φ)=S(θ,φ)r^2=(\frac{E_m^2}{2η}r^2)F^2(θ,φ)=U_mF^2(θ,φ)\)

    总辐射功率为\(P_r=\int^{2π}_0\int^π_0 U(θ,φ) sinθ dθdφ=U_m \int^{2π}_0\int^π_0 F^2(θ,φ) sinθ dθdφ\)，将其代入\(U_{av}=\frac{P_r}{4π}\)得平均辐射强度

  • 综上可得方向系数的计算公式：

    \[D(θ,φ)=\frac{4πF^2(θ,φ)}{\int^{2π}_0\int^π_0 F^2(θ,φ) sinθ dθdφ} \]

  • 在最大辐射方向上\(F(θ,φ)=1\)，故\(D(θ,φ)=\frac{4π}{\int^{2π}_0\int^π_0 F^2(θ,φ) sinθ dθdφ}\)

  • 以基本电偶极子为例求方向系数：基本电偶极子的方向图函数为\(F(θ)=sin⁡θ\)，可计算\(D=\frac{4π}{\int^{2π}_0\int^π_0 sin^3θ dθdφ}=\frac{4π}{2π·\frac43}=1.5\)

    这意味着基本电偶极子最大辐射方向的辐射强度是平均值的1.5倍，比各向同性源集中了50%的能量

• 辐射场强\(E\)

  根据前文对辐射强度、方向系数的定义，可以计算天线在空间任意点处的辐射场强大小

  • 设辐射电磁为\(E=E_mF(θ,φ)\)，前文已经推导用此表达辐射强度得\(U(θ,φ)=S(θ,φ)r^2=\frac{E_m^2F^2(θ,φ)}{2η}r^2\)

    再由方向系数的定义得\(D=\frac {U}{U_{av}}=\frac {U}{\frac{P_r}{4π}}=\frac {E^2_mF^2(θ,φ)}{60P_r}r^2\)

  • 综上得天线在任意一点处辐射场强大小为：

    \[|\vec E|=\frac {\sqrt{60P_rD}}{r}F(θ,φ) \]

    天线的辐射场强幅值为

    \[E_m=\frac {\sqrt{60P_rD}}{r}=\frac {\sqrt{60P_{in}G}}{r} \]

辐射损耗特性

• 辐射效率\(η\)

  天线辐射总功率与输入功率之比

  \[η=\frac {P_r}{P_{in}}=\frac{R_r}{R_l+R_r} \]

  • 其中\(R_r\)为辐射电阻，\(R_l\)为损耗电阻

  • 由此式可见增大天线辐射效率有两种方法：增大天线的辐射电阻或减小天线的损耗电阻

  辐射的损耗来源于：

  • 导体损耗：天线材料的有限电导率\(σ\)产生焦耳热
  • 介质损耗：天线周围介质有损耗角正切\(tan⁡δ\)（见复介电常数）
  • 表面波损耗：部分能量沿介质表面传播而不辐射

• 辐射阻抗\(R_r\)

  将辐射功率等效为电阻消耗的功率，电阻上流过的电流取天线上某处的电流，称为归算电流（常用归算于波腹电流\(I_m\)）

  \[R_r=\frac {P_r}{\frac12|I|^2} \]

  • 可以利用方向图函数最大值与辐射阻抗，简化计算方向系数：

    \[D=\frac{120f^2_m}{R_{rm}} \]

  • 以基本电偶极子为例求辐射阻抗：基本电偶极子的辐射功率\(P_r=40π^2I^2(\frac{l}{λ})^2\)，代入定义式得\(R_r=\frac{2P_r}{I^2}=80π^2(\frac{l}{λ})^2\)

    当\(l=\frac λ{10}\)时，\(R_r≈8Ω\)，这表示了电小天线的辐射电阻很小，导致辐射效率低、难以匹配

• 增益系数\(G\)

  天线在某一方向的增益系数是该方向辐射强度与天线在相同输入功率下的空间均匀辐射强度\(\frac{P_{in}}{4π}\)之比，定义式为：

  \[G(θ,φ)=\frac {4πU(θ,φ)}{P_{in}} \]

  • 本质上增益系数是考虑了效率的方向系数，其与方向系数间的关系为：

    \[G(θ,φ)=D(θ,φ)η \]

  • 取分贝：\(G|_{dB}=10lgG\)，另外有：

    • \(dBi\)：相对无方向性点源做参考

    • \(dBd\)：相对半波振子（2.15dB）做参考

      换算：\(10dB=10dBi=10-2.15dBd=7.85dBd\)

天线匹配特性

• 输入阻抗\(Z_{in}\)

  从天线输入端口看去的阻抗，即天线输入端口的电压与电流之比

  \[Z_{in}=\frac{P_{in}}{\frac12|I_{in}|^2}=R_{in}+jX_{in} \]
  • 分电阻与电抗两个部分，其中\(R_{in}=\frac{P_L}{\frac12|I_{in}|^2}+\frac{P_r}{\frac12|I_{in}|^2}=R_l+R_r\)，\(X_{in}=\frac {Q_r}{\frac12|I_{in}|^2}\)

• 反射系数\(Γ\)

  天线-馈线的连接点等同于前文介绍过的介质分界面，反射系数公式直接沿用电磁波的反射与折射章节内容：

  \[Γ=S_{11}=\frac{Z_{in}-Z_0}{Z_{in}+Z_0} \]

  用于表示天线把能量送出去了多少，有多少能量被反射了

  • 其中\(Z_0\)是馈线的特性阻抗（通常为50Ω或75Ω）

  • 注意在阻抗匹配时才有\(Γ=S_{11}\)，（因为天线通常是单端口器件，一个口接馈线，另一个口是空气，其他的S参数对单天线用不到）

  • 对于天线，\(Γ\)越小越好：

    • 理想情况：\(Γ=0\ \ \ \ (S_{11}=−∞dB)\)，表示能量完全不反弹，全发射出去
    • 工程及格线：\(Γ<0.316\ \ \ \ (S_{11}<−10dB)\)（能量只有\(\frac 1{10}\)反弹回来）
    • 无法工作的情况：\(Γ=1\ \ \ \ (S_{11}=0dB)\)（能量全反弹）

复习一下S参数：用于描述二端口（端口1与端口2）网络，其下标用于表示波的进出端口：\(S_{出进}\)；各个S参数如下表：

参数	名称	物理意义	理想值
\(S_{11}\)	电压反射系数	1端口反射的能量	\(−∞dB\)（能量不反弹）
\(S_{22}\)	输出回波损耗	2端口反射的能量	\(−∞dB\)（能量不反弹）
\(S_{21}\)	正向增益/插入插损	从1到2的变化	\(0dB\)（无耗），越大表示放大
\(S_{12}\)	反相隔离度	从2漏回1的程度	\(−∞dB\)（能量不从2漏回1）

对多天线系统（如MIMO），\(S_{11}\)之外的参数就有意义：

\(S_{21}\)（在两天线之间）：称为互耦或隔离度。表示1号天线发射的能量，有多少被旁边的2号天线接收到了，希望这个值越负越好（<-20dB），表示两个天线互相干扰小

• 电压驻波比VSWR

  波腹电压与波谷电压的幅度比，计算公式如下：

  \[VSWR=\frac{1+Γ}{1-Γ}=\frac{1+S_{11}}{1-S_{11}} \]

  用于衡量阻抗匹配程度，能够反映信号在传输线中的反射情况（入射波与反射波叠加后形成驻波）驻波比越大，表示反射的信号能量越多，匹配程度越差，

  这也与电磁波的反射与折射章节的内容完全一致，只是把波阻抗换为输入阻抗

  • VSWR取值范围为\([1,∞)\)，越接近1越好：

    • 理想情况：\(VSWR=1\)，无驻波，表示完全匹配，信号能量全部被负载吸收，没有反射损耗
    • 工程及格线：\(< 2 : 1\)，对应 \(Γ<0.316\ \ (S_{11}<−10dB)\)
    • 无法工作的情况：\(∞:1\)，全反射

天线接收能力特性

• 有效长度\(l_{ein}\)

  在保持天线在最大辐射方向场强不变的前提下，假设天线上电流均匀分布，此时天线的等效尺寸，原理如图：

  

  由此可知定义式如下：

  \[l_{ein}=\frac{1}{I_{in}}\int^l_0I(z)dz \]

• 有效面积\(A_e\)

  天线在极化匹配和共轭匹配的条件下，在来波方向的接收功率与入射平面波坡印廷/能流密度/功率通量密度之比，定义式为：

  \[A(θ,φ)=\frac{P_R(θ,φ)}{S}=\frac{λ}{4\pi}GF^2(θ,φ) \]

  这一比值描述了接收天线捕获能量的能力（入射波带来的能量有多少反映在了功率上）

  • 若取在最大辐射方向：\(A_e=\frac{λ}{4\pi}G\)
  • 对于很小的天线(电小天线)：有效面积与有效长度近似满足\(A_e≈\frac{l^2_{ein}}{4}\)

天线的其他特性

• 天线的极化

  电磁波的极化是指在空间固定点上电磁波电场强度矢量的空间取向随时间变化的性质，而当天线发射或接收时在给定方向辐射上的电磁波的极化，即天线的极化

  天线的极化类型具体参见电磁波的极化

• 天线的带宽

  天线的电参数通常随频率变化，带宽就是指电参数满足要求的频率范围，根据描述参数的不同分为方向图带宽、增益带宽、驻波比带宽及阻抗带宽等

  例如，设某天线工作频率设定为\(f_1\)至\(f_2\)：

  • 绝对带宽：\(\Delta f= f_2-f_1\)
  • 相对带宽：\(\frac {\Delta f}{f_0}=\frac {f_2-f_1}{f_1+\frac{f_2-f_1}{2}}×100\%\)（中心频率\(f_0=\frac {f_1+f_2}2\)）
  • 倍频：\(\frac{f_2}{f_1}\)（当倍频超过2时称超宽带）

  带宽受限的根本原因是匹配条件随频率变化：四分之一波长匹配层只在特定频率成立，这就是窄带天线的根源，宽带天线设计本质上是在寻找频率不敏感的匹配结构

功率传输方程

• 功率传输方程的推导过程

  天线能量在传输过程的功率值\(P_r=S_r·A_e\)

  该公式描述了功率传输的两个因素：发生天线产生的电磁波在到达接收天线处时的功率通量密度\(S_r\)，以及接收天线能获取到这些功率的有效面积\(A_e\)，而这两个因子又由如下物理过程决定：

  • 给发射天线输入功率\(P_t\)，天线把这个功率转换成电磁波向各个方向辐射，而天线辐射在目标方向上的发射增益系数为\(G_t\)，由此发射天线在某个方向上的等效辐射功率：\(P_t\)\(G_t\)（若选取最大辐射方向则称为EIRP等效全向辐射功率）
  • 辐射的电磁波在自由空间中以球面波形式扩散传播，当辐射距离为\(R\)时，辐射能量就被分散到以\(R\)为半径的球面上，由此在这个球面上单位面积功率（即功率通量密度）：\(S_r=\frac{P_tG_t}{4πR^2}\)
  • 接收天线只能接收一部分入射能量，前文已经介绍过用有效面积来衡量接收能力：\(A_e=\frac {λ^2}{4π}G_r\)
  • \(P_r=S·A_e\)代入上面两式，就得到Friis公式

• Friis功率传输方程

  用于计算在自由空间中（无阻挡、无多径）两个天线之间的接收功率：

  \[P_r=\frac{P_tG_t}{4πr^2}\cdot \frac{λ^2}{4π}G_r=(\frac{λ}{4πr})^2P_tG_tG_r \]

  • \(P_t\)：发射天线输入的功率；\(G_t\)：发射天线在接收方向上的增益

    \(P_r\)：接收天线得到的功率；\(G_r\)：接收天线在发射方向上的增益

    \(λ\)：工作波长；\(R\)：两天线之间的距离

    \((\frac{λ}{4πr})^2\)：自由空间路径损耗（准确地说是能量扩散导致的衰减）

• 功率传输方程的通用形式

  从公式的物理意义可知，Friis公式成立需要：

  • 收发天线最大辐射方向对准（且处在远场区）
  • 收发天线极化匹配
  • 收发天线与传输线阻抗匹配

  而在不满足成立条件时：

  • 收发天线的最大方向没有对准：在公式中加入角度偏差导致的发射与接收增益系数的变化\(G_t(θ,φ)=G_{tmax}·F_t^2(θ,φ)\)与\(G_r(θ,φ)=G_{rmax}·F_r^2(θ,φ)\)

  • 极化不匹配：用极化效率(又称极化失配因子)\(p\)来衡量极化损耗的大小：\(P_r=p·P_{rmax}\)，在完全匹配时\(p=1\)，完全失配时\(p=0\)

    计算方法为：\(p=|e_r·e_t|^2\)，其中\(e_r\)与\(e_t\)是接收天线与入射波极化的单位复矢量

  • 阻抗不匹配：用阻抗失配因子\(η_Φ\)来衡量：\(P_r=η_Φ·P_{rmax}\)

    计算方法为：\(η_Φ=1-|Γ|^2=1-(\frac{VSWR-1}{VSWR+1})^2\)

    • \(VSWR=1\)：\(η_Φ=1\)，理想匹配
    • \(VSWR→∞\)：\(η_Φ→0\)，全反射

  综上，得到不满足成立条件时的通用功率传输方程：

  \[P_r=(\frac{λ}{4πr})^2P_tG_tG_rpη_ΦF_t^2(θ,φ)F_r^2(θ,φ) \]

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对称振子

对称振子概述

• 从理论到实际

  在天线理论部分，提到将基本电偶极子作为天线的最小单元，其作为一种抽象模型定义了天线的核心参数

  而在实际应用中，我们需要真实存在、具有一定长度、能实际工作的天线振子，它们可以看作无数个基本电偶极子的叠加：对称振子就是一种最简单的实际天线

• 对称振子的结构

  对称振子是线天线的一种，线天线是指以细导线为辐射体，电流沿导线流动产生辐射的天线

  对称振子由两段长度相等的直导线组成，中间断开处接馈电（两内端点接等幅反相的电压激励）

  两段导线称为两臂，总长度为\(L\)，每臂长度为\(l=\frac {L}{2}\)，直径远小于长度（工作时两臂首电压激励产生电流，并在空间建立电磁场）

  因为结构简单，被广泛应用于各种无线电设备中，适用于短波至微波

• 对称振子的分类

  根据臂长与工作波长的比值，可以将对称振子分为以下三类：
  

  • 半波振子：\(L=\frac λ2\)
  • 全波振子：\(L=λ\)
  • 电短振子：\(L<<λ\)（近似为基本电偶极子）

对称振子理论

• 对称振子的电流分布

  因为对称振子有了长度，就不能像基本电偶极子那样作电流均匀的假设，在求辐射解并计算参数前必须先确认其电流分布情况，利用终端开路传输线理论的特性方程可以求出如下电流分布：

  当导线直径很细时，对称振子上的电流可近似为正弦分布；对于中心馈电、长度为\(L\)的对称振子，设振子沿\(z\)轴放置，中心在原点，电流分布为：

  \[I(z)= \begin{aligned} I_msin⁡[k(\frac L 2 −z)],\ \ \ 0≤z≤\frac L2\\ I_msin⁡[k(\frac L 2 +z)],-\frac L2≤z≤0 \end{aligned} \]
  • 其中\(I_m\)为电流幅值（波腹电流），\(k\)是对称天线上电磁波的相移常数，此时\(k=\frac{2π}λ\)也即波数

  从电流分布表达式中可以看出对称振子如下物理图像：

  • 振子两端开路电流为零，即振子两端为波节点
  • 中心馈电点：对半波振子为电流最大点；全波振子为电流最小点

  也就是说对称振子两臂上的电流是驻波

• 对称振子的辐射解

  确认了对称振子电流分布后，就可以计算它在空间任一点的辐射场强了

  根据基本电偶极子定义，对称振子的辐射场等于其上无数个基本电偶极子的辐射场叠加，数学表达为：\(E=\int^{\frac L 2}_{-\frac L 2} E_{偶极子}(I(z'),z')dz'\)

  代入之前推导的基本偶极子远场电场大小，得到：

  \[E_θ=j\frac{60I_m}{r}[\frac{cos(klcosθ)-cos(kl)}{sinθ}]e^{-jkr} \]
  • 其中\(r\)为考察点到天线中心的距离

对称振子参数

• 方向函数

  对称振子的方向函数：

  \[f(θ,φ)=\frac{cos(klcosθ)-coskl}{sinθ} \]

  进行归一化处理：

  \[F(θ,φ)=\frac{1}{f_m}|\frac{cos(klcosθ)-coskl}{sinθ}| \]

  • 半波对称振子的方向函数（取\(2l=\frac λ2\)）可简化为：\(F(θ)=\frac{cos(\frac\pi 2 cosθ)}{sinθ}\)

  • 从公式中不含\(φ\)可见H面(垂直于振子轴线的面)上对称振子是全向的，方向图为一个圆；E面上方向图为一个8字形

• 辐射特性

  • \(0<\frac l λ <0.1\)：与电基本振子等效，方向图与电基本振子一致，辐射功率与辐射电阻也使用电基本振子的公式计算：

    电基本振子的辐射功率：\(P_r=40π^2(\frac{Il}{λ})^2\)

    电基本振子的辐射电阻：\(R_{rm}=80π^2(\frac{l}{λ})^2\)

  • \(\frac l λ =0.25\)：半波振子，辐射阻抗为\(R_{rm}=73.1+j42.5\Omega\)

  • \(\frac l λ =0.5\)：全波振子，辐射阻抗为\(R_{rm}=200\Omega\)

• 阻抗特性

  对称振子的特性阻抗（由传输线理论的平行均匀双导线特性阻抗得来）：

  \[Z_0(z)=120ln\frac{2z}{a} \]
  • 其中\(a\)为对称振子的半径，从公式可见振子越粗，特性阻抗越小
  • 沿z轴取平均值，可得平均阻抗特性\(Z_0=120(ln\frac{2l}{a}-1)\)

  对称振子的输入阻抗：

  \[Z_{in}=Z_0\frac{sh2al-\frac{a}{\beta}sin2\beta l}{ch2al-cos2\beta l}-jZ_0\frac{\frac{a}{\beta}sh2al+sin2\beta l}{ch2al-cos2\beta l} \]
  • 其中\(a\)为对称振子的衰减常数，\(\beta\)为对称振子的相移常数
  • 对称振子末端效应：对称振子直径不为0时，其末端电流不为0，在式中不应使用对称振子长度\(l\)进行计算，而是使用延长一段的等效振子长度\(l'=l+δ\)

• 平衡馈电

  • 采用同轴线向对称阵子馈电时，出现振子两臂电流不对称的现象，称为馈电不平衡
  • 出现原因是外导体内壁上的电流有一部分溢出到外壁上，通过分布电容流到与天线内导体相连的一壁。
  • 解决办法：使用U形管(平衡馈电、阻抗匹配)，扼流套，并槽线