电磁场的深入解析_静态场/时变场

• 电磁场中各个场的基本性质已经在前一篇对麦克斯韦方程组概述时已有讲解，不再赘述，本篇内容主要介绍是各种不同形式的场的数学规律，为之后解析电磁场与电磁波作基础
• 对于想学习天线相关的电磁场与电磁波知识的人：天线工作在高频辐射状态，静态场理论无法描述辐射现象，但因为静态场是理解时变电磁场的基础，所以仍进行一定的讲解，在看的时候可以把重点放在时变电磁场

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• 根据场量是否随时间变化，电磁场可分为：静态场与时变场

静态场概述

静态场的定义

• 静态场指场量不随时间变化的电磁场，数学表示为\(\frac{\partial E}{\partial t} = 0\)并且\(\frac{\partial B}{\partial t} = 0\)（若仅一个为零则为准静态场）

静态场的特性

• 静态场的场量解耦

  因为场量不随时间变化，不涉及变化的电场激发磁场（安培-麦克斯韦位移电流定律）与变化的磁场激发电场（法拉第电磁感应定律）

  因此，对于静态场，电场的电场强度\(E\)与磁场的磁感应强度\(B\)是分立的两个量

• 静态场的麦克斯韦方程组

  将静态场的电场与磁场解耦这一性质，可以进行数学证明：

  对于静态场，由于有\(\frac{\partial E}{\partial t} = 0\)与\(\frac{\partial B}{\partial t} = 0\)的前提条件，得

  • 法拉第定律\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)退化为\(∇×E=0\)

  • 安培-麦克斯韦定律\(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)退化为 \(∇×H=J\)

静态场的分类

• 静电场

  由静止电荷产生的电场（不存在磁场部分，\(B=0\)）是有散无旋场

• 恒定电磁场

  由恒定电流产生的电磁场（恒定电流指的是方向、大小不发生变化的电流，电荷在闭合回路中稳定流动），电场部分是有散无旋场，而磁场部分是有旋无散场

  注意：恒定磁场可由恒定电流或永磁体产生；恒定磁场等同于静磁场，但恒定电场不是静电场

静态场的对比

• 物理源上的异同决定了静电场与恒定电场两者的异同

• 静电场与恒定电场的相通

  静电场由静止电荷产生，恒定电磁场由恒定电流(本质是定向移动的电荷)产生，两者都由电荷产生，因此有以下相同点：

  • 同一本源：都是由电荷(电场的散度源)产生的场，都是无旋场，满足\(∇×E=0\)，并且都可以引入电势函数描述
  • 同样稳态：静止电荷与恒定电流的电荷分布都不随时间变化，所以两者产生的电场都是静态场而非时变电磁场

• 静电场与恒定电场的不同

  虽同以电荷为源，但静电场对应电荷宏观静止，恒定电流的电荷则并不静止，而是宏观流动（可以说静电场是静止的平衡，而恒定电场是动态平衡），因此一以下不同点：

  • 导体内部：静电场的导体内部\(E=0\)；而恒定电场导体内部的\(E≠0\)（才能有电流）

  • 能量过程：静电场储能(如电容器)；而恒定电场中电能持续转化为焦耳热(电流产热)

静电场

电位函数

• 在进一步讲解静电场之前，先引入电位函数的概念(不作严格的数学推导，仅仅简单解释)：

• 无旋/保守/梯度场

  对无旋场\(∇×E=0\)，(在单连通区域且场连续可微的条件下)该场为保守场，保守场的特性是路径积分只与路径的起点与终点有关，而与路径无关，比如重力场就是一种保守场，你从100米高掉到1米高，无论中间是坐飞机还是坐电梯，重力势能的变化都是一样的的

  为什么需要是无旋场，做一个比喻：在平缓的山上(没有螺旋台阶状的地形)从地图上的A点走到B点，无论中间的路线如何，高度的总变化量是一样的；而如果地形和重庆一样顶楼出来是马路，中途的路线就会影响高度的变化量了

  另外，既然中间的路线不影响最终的积分值，我们也可以任意取路线，不妨取函数值下降最快的路线，这也就恰好对应梯度的负方向，所以无旋场(保守场)也可以被描述为\(E=−∇φ\)，称为梯度场

• 势函数

  既然在保守场中线积分只与端点有关，我们可以定义一个函数，用端点处的场量\(E\)来计算线积分：\(φ(B)-φ(A)=-\int^B_{A} E \cdot d l\)，而这个函数\(φ(P)\)即势函数

  注意：这个定义使得势函数差是绝对的，而某一点的势函数值是相对的，取决于选哪里是势函数零点

• 电势/电位函数的定义

  静电场和恒定电场都是有源无旋场，所以可以引入势函数进行描述

  \[φ(P)=-\int^p_{参考点}\vec E \cdot d \vec l \]

  在空间中某一点的电势或称电位函数$ φ(P)\(，其定义为：外力将单位正电荷从参考点(通常是无限远处\)ϕ(∞)=0$或接地)移动到P点(用矢量表示)的过程中，外力克服电场力所作的功(这等价于单位正电荷在该点的电势能)

  电势值是为相对值，取决于选哪里是电势零点，但电势差\(ϕ(A)−ϕ(B)\)是绝对的

  负号代表这电场的方向是从高电势到低电势，指向电势降低最快的方向，也就是梯度的负方向，因此电场也可以写成\(E=−∇φ\)

静电场的基本原理

• 静电场的麦克斯韦方程组

  由静态场的麦克斯韦方程组可知，对于静电场，其麦克斯韦方程组退化为：

  • 高斯定律：\(\nabla \cdot \mathbf{D} = {\rho}\)（电荷为散度源）（\(D=εE=ε_0ε_rE\)）
  • 法拉第定律：\(\nabla \times \mathbf{E} = 0\)（无旋场）

• 电位方程的推导

  1. 从麦克斯韦方程组可知静电场满足\(\nabla \cdot E=\frac {\rho}{\varepsilon_0 }\)

  2. 把电场用电势函数表达：\(\nabla \cdot（−∇φ）=\frac {\rho}{\varepsilon_0 }\)

     整理得到\(\nabla^2 φ=-\frac {\rho}{\varepsilon_0 }\)，这就是泊松方程

  3. 在无源区(\({\rho}=0\))，简化为\(∇²φ = 0\)，这就是拉普拉斯方程

  最终结论是：静态场的位函数满足泊松方程，在无源区内满足拉普拉斯方程

  对任何静电场问题，区域内部有电荷则求解泊松方程，内部无电荷则求解拉普拉斯方程

• 泊松方程

  \[∇²φ=-\frac{ρ}{ε₀} \]

  在场论那一节我们提到过拉普拉斯算子用以计算函数值与其邻域平均值的差异，因此泊松方程的含义是：电荷是电场的唯一源，而且在有源区域，电势分布必然被电荷扭曲，电荷密度决定了电势的“局部曲率”

  拉普拉斯方程的解具有极值原理：电势的最大值和最小值只能出现在边界上，除非区域内电势为常数。

• 拉普拉斯方程

  \[∇²φ = 0 \]

  是泊松方程在无源区域的简化情况，拉普拉斯方程表示了无源区域，电势分布必然是平滑的

• 唯一性定理

  拉普拉斯方程带来了唯一性定理：在一个区域内，只要给定了边界上的电势（狄利克雷边界条件）或电场的法向分量（诺伊曼边界条件），那么区域内的解就是唯一的，所以我们只需要边界条件就能控制内部的电场，这是一切电磁仿真的理论基础

  唯一性定理的数学表示：在场域V的边界面S上给定电位函数φ或其法向导数\(\frac{\partial φ}{\partial n}\)的值，则电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内有唯一解\(∇²φ=-\frac{ρ}{ε₀}\)

静电场的解析

• 静电场的解析方法

  有了如上静电场相关的理论依据，就能通过如下方法来解析静电场

  • 直接积分法：利用库仑定律、毕奥-萨伐尔定律
  • 高斯定理/安培环路定理：对称场分布的简化求解
  • 分离变量法：求解拉普拉斯/泊松方程
  • 镜像法：处理导体/介质边界的等效问题

• 静电场中的导体

  根据前文对理想导体边界条件的解释，我们知道在电荷附近存在导体时，导体表面将出现感应电荷，使得导体内部电场为0，而导体外部的电场就为电荷产生的电场叠加感应电场

  这时，产生感应电场的感应电荷又取决于总电场，这就导致求解这类问题再使用前三种方法进行积分运算变得很复杂；但对于点电荷或线电荷，导体为平面、球、圆柱等简单性质，就能用上文提到的第四种方法：镜像法

• 镜像法的原理

  感应电荷难以确定，我们就虚构一些电荷放在求解电场区域之外的恰当位置上来替代感应电荷对真实电荷的影响，这样的电荷称为镜像电荷

  这样替代后，就把边界上的问题转换为了均匀无界空间中的问题

  根据静电场唯一性定理：在静电场中，只要电荷分布和边界条件确定，电场的解就是唯一的；因此只要镜像电荷与原来的实际电荷产生的电场满足原本的边界条件，所得结果就与感应电荷产生的无异

• 镜像法的使用

  镜像法的关键是如何确定镜像电荷，以无限大、接地的理想导体平板为例

  在平板之上距离为d的地方，有一个正的点电荷+q，则镜像电荷为−q，位于平板下方d处。求解区域为平面上方，镜像电荷位于下方（虚拟区域）

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恒定电场

恒定电场的基本原理

• 恒定电场的麦克斯韦方程

  对于恒定电场，虽然与静电场相比两种场源不同，但其麦克斯韦方程组退化情况一致

  • 高斯定律：\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)（虽然恒定电场以运动电荷为散度源，但其电荷分布不随时间变化，所以与静电场仍是一样的）
  • 法拉第定律：\(\nabla \times \mathbf{E} = 0\)（与静电场一样，仍为无旋场）

• 电位方程的推导

  恒定电场和静电场一样满足泊松方程和拉普拉斯方程，但因为恒定电场由恒定电流产生，推导有所不同：

  1. 恒定电场由恒定电流产生，其电荷的分布不随时间变化，即\(\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\)

  2. 由电流连续性方程(不考虑位移电流)：\(\oint_s J\cdot dS=-\int_v\frac{\partial \rho}{\partial t} dV\)（通过闭合曲面S流出的总电流(即电流密度J的通量)=该曲面所包围体积V内电荷随时间减少的速率）

     代入恒定电流的条件\(\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\)，我们得到\(\oint_s J\cdot dS=0\)，相应的微分形式为\(∇⋅J=0\)

  3. 根据欧姆定律的微分形式：\(\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}\)（\(J\)为电流密度，\(\sigma\)为电导率）把电场用位函数表示得到\(J=-\sigma∇φ\)，再将其代入电流连续性方程中得\(∇⋅（-\sigma∇φ）=0\)，最终得到\(∇^2φ=0\)，在均匀导电媒介中电位满足拉普拉斯方程

• 电荷密度的推导

  1. 由\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}\)，带入欧姆定律的微分形式：\(\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}\)，可以得到\(\nabla \cdot \frac{J} \sigma = \frac{\rho}{\varepsilon}\)，根据矢量恒等式化为${\rho}=\frac {\varepsilon} {\sigma} \nabla \cdot {J} + {J} \cdot \nabla \frac {\varepsilon} {\sigma} $
  2. 代入\(∇⋅J=0\)，得导电媒介中的电荷体密度为${\rho}={J} \cdot \nabla \frac {\varepsilon} {\sigma} $

  这证明了恒定电场中，只有非均匀导电媒质内才存在电荷分布，而均匀导电媒质内净电荷密度处处为0（因为均匀介质中\(\nabla \frac {\varepsilon} {\sigma} =0\)），电荷只能分布在媒质分界面或电极处上；从微观上来说这是因为均匀导电媒质中任一点的正电荷密度和负电荷密度大小相等，正好抵消

恒定电场的解析

• 与静电场比较

  从前文解释，可见静电场在电荷密度为0的区域和恒定电场在恒定电流电源外部的区域有很多共同之处

  场类型	源	散度性质	旋度性质	本构关系	位函数性质
  静电场	静止电荷	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)	\(∇×E=0\)	\(\mathbf{D} = {\varepsilon} \mathbf{E}\)	\(∇^2φ=0\)
  恒定电场	恒定电流	\(∇⋅J=0\)	\(∇×E=0\)	\(\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}\)	\(∇^2φ=0\)

  简而言之，\(E_{静电场}\)对应\(E_{恒定电场}\)，\(D\)对应\(J\)，\({\varepsilon}\)对应\(\sigma\)，\(φ_{静电场}\)对应\(φ_{恒定电场}\)

• 静电比拟法

  因为两种场在特定区域（静电场在电荷密度为0的区域，恒定电场在恒定电流电源外部的区域）的电位都满足拉普拉斯方程，所以当两种场用电位表示的边界条件相同时，两种场的解的形式必定相同

  所以，对恒定电场问题，可以直接利用对应关系，转换为有相同边界形状和条件的静电场问题求解

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恒定磁场

磁位函数

• 前文证明了静电场是无旋场，可以用标量位函数来描述；而恒定磁场是无散场，可以用矢量位函数来描述

• 磁矢位

  所谓矢量位，是利用磁场无散的特性\(\nabla \times B=0\)与矢量旋度的散度恒等于0的性质\(\nabla \cdot (\nabla \times A)=0\)构成的\(\nabla \times B=\nabla \cdot (\nabla \times A)\)

  整理得\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)，这个\(A\)即恒定磁场的矢量磁位，它本质是一个辅助矢量，单位为\(T \cdot m\)

• 库伦规范

  需要注意，上文定义出的磁矢位并不唯一，根据亥姆霍兹定理，唯一地确定一个矢量必须同时确定其旋度和散度，所以我们引入库仑规范：对恒定磁场规定\(\nabla \cdot \mathbf{A} = 0\)，性质磁矢量就被唯一确定了，且符合磁场的无散特性

• 标量磁位

  利用磁场以电流为旋度源的特性\(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}\)，在没有自由电流$J=0 $的区域得 \(\nabla \times \mathbf{H} = 0\)，也就是该区域无旋，这时可以依照无旋的电场的推导过程，把\(H\)表示为一个标量函数的梯度，即 \(H=-\nabla φ_m\)，其中\(φ_m\)即标量磁位

恒定磁场的基本原理

• 恒定磁场的麦克斯韦方程组

  由静态场的麦克斯韦方程组可知，在静磁场中，麦克斯韦方程组退化为：

  • 高斯定律(磁场)：\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)（无散度）
  • 安培环路定律：\(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}\)（电流为旋度源）（\(B=μH=μ_0μ_rH\)）

• 磁矢位方程的推导

  1. 从麦克斯韦方程组可知恒定磁场满足\(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}\)

  2. 把磁场用磁矢量函数表达：\(\nabla \times（\nabla \times \mathbf{A}）=μJ\)

     利用矢量恒等式整理得到\(\nabla \times\nabla \times \mathbf{A}=\nabla(\nabla\cdot A)-\nabla^2A=μJ\)

  3. 再由库伦规范\(\nabla \cdot \mathbf{A} = 0\)得\(\nabla^2A=-μJ\)，这就是磁矢位的泊松方程

  4. 在无源区(\(J=0\))，简化为\(∇²A = 0\)，这就是磁矢位的拉普拉斯方程

  依旧满足我们对静态场的结论：静态场的位函数满足泊松方程，在无源区内满足拉普拉斯方程

  对任何恒定磁场问题，区域内部有电流则求解泊松方程，内部无电流则求解拉普拉斯方程

• 磁标量方程的推导

  1. 在均匀、线性和各向同性的媒质中，将\(B=μH\)和\(H=-\nabla φ_m\)代入\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)中

     得到\(\nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot μH=-μ\nabla \cdot（\nabla φ_m）=0\)

  2. 整理上式得到\(∇^2φ_2=0\)，即标量磁位满足拉普拉斯方程

  使用标量磁位时注意：在一些已知的边界条件下求解磁场，例如研究磁场的屏蔽问题，把磁屏蔽体置于已知的外磁场中，由于不涉及磁场的电流，可以用标量磁位求解（标量磁位仅适用于无自由电流区域，否则需使用磁矢位）

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时变电磁场

时变电磁场的定义

• 时变电磁场指场量随时间变化的电磁场，数学表示为\(\frac{\partial E}{\partial t} ≠ 0\)或/和\(\frac{\partial B}{\partial t} ≠ 0\)

时变电磁场的特性

• 时变场的场量耦合

  变化的场量，意味着有变化的电场激发磁场（安培-麦克斯韦位移电流定律）与变化的磁场激发电场（法拉第电磁感应定律）

  此时电场与磁场可以互相激发，时变电场与磁场通过\(\frac{\partial E}{\partial t}\)和\(\frac{\partial B}{\partial t}\)项耦合在一起，由此产生电磁波

• 时变场麦克斯韦方程组的完整性

  前文解释了静态场的麦克斯韦方程组是可以简化的，这表示了静态场的电场与磁场解耦，是两个分别的量

  时变电磁场必须用完整的麦克斯韦方程组描述，其物理含义是电场与磁场相耦合

时变电磁场的位函数

• 矢量位

  一如静态场引入了电位、磁位来描述场，简化了后续分析，对时变电磁场，也可以引入位函数：

  首先，由磁场无散的特性\(\nabla · B=0\)与亥姆霍兹定理，磁场可表示为一个矢量函数\(A\)的旋度，即\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)，这个\(A\)即时变电磁场的磁场部分的矢量磁位，与恒定磁场的磁矢位相同

• 标量位

  用矢量磁位来表示法拉第电磁感应定律\(∇×E = -\frac{∂B}{∂t}\)，得到\(∇×E = -\frac{∂\nabla \times \mathbf{A}}{∂t}\)

  整理得到\(∇×（E+\frac{∂\mathbf{A}}{∂t}）= 0\)，这表明了\(E+\frac{∂\mathbf{A}}{∂t}\)是无旋的，也就可以用一个标量函数的梯度来表示，即\(E+\frac{∂\mathbf{A}}{∂t}=−∇φ\)

  因此时变电磁场的电场部分可以用矢量位和标量函数表示为\(E=-\frac{∂\mathbf{A}}{∂t}−∇φ\)（与在无电流区描述恒定磁场的标量磁位不是一种东西）

• 洛伦兹条件

  类似恒定磁场需要库伦规范来确定磁矢位，对时变电磁场，上述的推导过程中其矢量位和标量位并不唯一确定，因为矢量位的定义只确定了\(A\)的散度而没有确定其旋度，为此，我们规定矢量位\(A\)的散度\(∇ \cdot E = -μ{\varepsilon}\frac{∂ \mathbf{φ}}{∂t}\)，称为洛伦兹条件

时变电磁场的基本原理

• 时变电磁场的麦克斯韦方程组

  时变电磁场有了变化的电场与磁场，必须用完整的麦克斯韦方程组才能描述：

  • 高斯定律（电场）\(\nabla \cdot D = \rho\)：电荷是电场的散度源，若无电荷，则电场的散度为零
  • 高斯定律（磁场）\(∇·B = 0\)：磁场是无散场，磁感线永远是闭合的
  • 法拉第电磁感应定律\(∇×E = -\frac{∂B}{∂t}\)：变化的磁场产生感应电场
  • 安培-麦克斯韦定律\(\nabla \times H = J + \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}\)：变化的电场产生涡旋磁场，电流和变化的电场是磁场的旋度源

• 达朗贝尔条件

  洛伦兹条件下，矢量位和标量位所满足的微分方程

  将\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)和\(E=-\frac{∂\mathbf{A}}{∂t}−∇φ\)带入\(\nabla \times H = J + \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}\)得到\(\nabla \times \nabla \times \mathbf{A}=μJ-με\frac{∂^2\mathbf{A}}{∂t^2}-με∇\frac{∂φ}{∂t}\)

  将\(E=-\frac{∂\mathbf{A}}{∂t}−∇φ\)带入\(\nabla \cdot E = \frac {\rho}{\varepsilon}\)得到\(∇^2φ+\frac{∂\mathbf{\nabla \cdot A}}{∂t} =- \frac {\rho}{\varepsilon}\)

  把洛伦兹条件带入这两个式子中化简，即可得到达朗贝尔条件：

  • \(∇^2A-μ{\varepsilon}\frac{∂^2{A}}{∂t^2} =- μJ\)
  • \(∇^2φ-μ{\varepsilon}\frac{∂^2{φ}}{∂t^2}=- \frac {\rho}{\varepsilon}\)

  达朗贝尔条件使得矢量位$A \(和标量位\)φ$分离在两个独立的方程里，而且矢量位只与电流密度有关，标量位只与电荷密度有关，由此已知电流和电荷分布时就能求出对应的矢量位和标量位，再由 \(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\) 和 \(E=-\frac{∂\mathbf{A}}{∂t}−∇φ\)的定义来求出磁场和电场

• 坡印廷电磁能量守恒定律

  电场和磁场都有能量，在线性、各向同性的媒质中，其单位体积下的能量为：

  • 电场能量密度：\(w_e = \frac{1}{2} \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{2} \varepsilon E^2\)

  • 磁场能量密度：\(w_m = \frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} = \frac{1}{2} \mu H^2\)

  • 总电磁能量密度：\(w = w_e + w_m = \frac{1}{2} \left( \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{H} \cdot \mathbf{B} \right)\)

  能量守恒在电磁场中的积分形式的表达为：

  \[-\frac{\partial \int_vwdV}{\partial t} =\oint_S \mathbf{S}\cdot dS +\int_v\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}dV \]

  另可写成微分形式：\(-\frac{\partial w}{\partial t} =\nabla \cdot \mathbf{S} +\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}\)

  • \(\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}\)是坡印廷矢量（单位时间垂直通过单位面积的能量，即能流密度）
  • \(\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}\)是电场对单位体积电荷做功的功率密度（若为正值，表示电磁场能量减少，转化为电荷的动能或焦耳热）

  该公式是电磁场中的局部能量守恒表达式，又称坡印廷定理；物理含义为：某区域内电磁场能量的减少，一方面通过坡印廷矢量流出该区域（能流），另一方面用于对电荷做功（转化为其他形式能量损耗掉）

• 唯一性定理

  在闭合曲面S为边界的有界区域V中，如果给定t=0时刻的电场和磁场强度初始值，并且在t≥0时给定边界面上电场强度或磁场强度的切向分量，则在t>0时，区域V内的电磁场由麦克斯韦方程组唯一地确定

时谐电磁场

时谐电磁场的定义

• 时谐电磁场是时变电磁场的一种：如果场源是以一定的角频率随时间呈时谐(正弦或余弦)变化的，则产生的电磁场也会以同样的角频率随时间呈时谐变化，这样的电磁场称为时谐/正弦电磁场

• 为了简化分析，用复数来表示时谐电磁场

  • 瞬时值：\(u(\vec r,t)=u_m(\vec r)cos[ωt+Φ(\vec r)]\)

    \(u_m(\vec r)\)是振幅，为空间坐标的函数；\(Φ(\vec r)\)为与时间无关的初相位

  • 复数表示：\(u(\vec r,t)=Re[u_m(\vec r)e^{jωt}e^{jΦ(\vec r)}]=Re[\dot u(\vec r)e^{jωt}]\)

    由上得复振幅：\(\dot u(\vec r)=u_m(\vec r)e^{jΦ(\vec r)}\)

• 根据傅里叶变换，我们可知任意的时变电磁场在一定条件下都可以展开为多个不同频率时谐场的叠加，因此研究时谐电磁场为分析时变电磁场指了明路

时谐电磁场的基本原理

• 复矢量的麦克斯韦方程组

  在时谐电磁场中，对时间的导数可以用复数形式表示：

  \(\frac{∂\vec F(\vec r,t)}{∂t}=Re\{ \frac{∂}{∂t} [\dot F_m(\vec r)e^{jωt}]\}=Re[jω\dot F(\vec r)e^{jωt}]\)

  由此运算规律，可以将原本的麦克斯韦方程组用复试量表示，需要注意的是，由于麦克斯韦方程组对于任意时刻\(t\)都成立，而且可以证明去掉取实部符号\(Re\)后等式仍成立，简而言之，就是令\(\frac{∂}{∂t}=jω\)，\(\frac{∂^2}{∂t^2}=-ω^2\)，

  • 高斯定律（电场）\(\nabla \cdot D = \rho\)
  • 高斯定律（磁场）\(∇·B = 0\)
  • 法拉第电磁感应定律\(∇×E = -jωB\)
  • 安培-麦克斯韦定律\(\nabla \times H = J + -jωD\)

• 时谐电磁场的极化性质

  当传导电流流过介质时，由于电阻存在，导致能量以热量形式散失的现象称为欧姆损耗

  与之相对的，位移电流也会造成损耗：在时变情况下，电磁场强度随时间变化，极化强度也随之变化，而介质的极化强度可能跟不上电磁场的变化，因此存在相位差（迟滞效应），从而在介质内引发极化损耗

• 复电容率

  对于线性、各项同性的电介质，表示其极化特性的介电常数是一个复数，称为复介电常数或复电容率

  • 等效复介电常数：\(\varepsilon_c=ε-j\frac σ ω\)

    由安培-麦克斯韦定律\(∇×H=J+jωD=σE+jωεE=jω(ε-j\frac σ ω)E\)推导得来，其将一个同时具有极化效应和自由电荷导电效应的介质，在数学上等效为一个只具有复杂极化效应的介质

  • 本征复介电常数：\(\varepsilon_c=\varepsilon'-j\varepsilon''\)，其中\(\varepsilon'\) 与 \(\varepsilon''\)都是频率的函数

    \(\varepsilon'\)代表介质的极化能力或储能特性，\(\varepsilon''\)描述电介质的电极化损耗，本征复介电常数常数统一地、本质地描述了介质对外加电场的响应

  • 通常用损耗角正切来描述电介质的极化损耗特性：\(tanδ_ε=\frac {ε''} {ε'}=\frac σ {ωε}\)

    损耗角描述的是导电媒质在传导电流(欧姆损耗)与位移电流(极化损耗)的振幅之比；

    当传导电流远远小于位移电流的振幅时，就是弱导电媒质或良绝缘体，反之为良导体；注意同一种媒质可能在低频时是良导体，高频则类似绝缘体

• 复磁导率

  对于磁化损耗，其情况与上文所介绍类似，有\(\mu_c=\mu'-j\mu''\)

  其中\(μ'\)代表介质的磁化率或衡量磁储能能力，\(μ''\)是磁损耗因子，统一了涡流、磁滞、共振等带来的损耗

  • 但因为不存在“磁荷”这种东西，所以无法像等效复介电常数一样推导出一个宏观唯象的“等效复磁导率”

  • 同有损耗角正切来描述磁介质的磁化损耗特性：\(tanδ_\mu=\frac {\mu''} {\mu'}\)