电磁波的基本性质_从麦克斯韦到电磁波/波动方程与亥姆霍兹方程/波数与相位常数/不同介质中的电磁波……

电磁波的推导

理论基础

• 真空中的麦克斯韦方程组

  根据之前对麦克斯韦方程组的介绍，我们可以得知麦克斯韦方程组在真空中(没有自由电荷，没有传导电流)可以简化为：

  • 高斯定律（电场）\(\nabla \cdot E = 0\)
  • 高斯定律（磁场）\(∇·B = 0\)
  • 法拉第电磁感应定律\(∇×E = -\frac{∂B}{∂t}\)
  • 安培-麦克斯韦定律\(\nabla \times B =\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}\)

• 位移电流

  关键在于最后一条安培-麦克斯韦定律：在原本的安培环路定律中，电流激发了磁场

  而麦克斯韦引入了位移电流，阐明了变化的电场(位移电流)能够产生涡旋磁场

  所以对于时变电磁场，电场与磁场就可以互相激发，脱离源（自由电荷与传导电流）独立传播，这就是电磁波的理论基础

波动方程的推导

• 对电场的推导

  1. 对法拉第定律取旋度\(∇×(∇×E) = ∇×(-\frac{∂B}{∂t})\)
  2. 利用矢量恒等式：\(∇×(∇×E) = ∇(∇·E) - ∇²E\)把此式化为\(∇(∇·E) - ∇²E = ∇×(-\frac{∂B}{∂t})\)
  3. 再代入高斯定律\(∇·E = 0\)得\(-∇²E = -\frac{∂(∇×B)}{∂t}\)
  4. 代入安培-麦克斯韦定律\(\nabla \times B =\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}\)即可得到\(-∇²E = -\frac{\partial(\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t})}{\partial{t}}\)
  5. 整理得\(∇²E = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}\)

• 对磁场的推导

  1. 对安培-麦克斯韦定律取旋度\(∇×(∇×B) = ∇×(\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t})\)
  2. 利用矢量恒等式：\(∇×(∇×B) = ∇(∇·B) - ∇²B\)把此式化为\(∇(∇·B) - ∇²B = ∇×(\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t})\)
  3. 再由高斯定理\(∇·B = 0\)得\(- ∇²B = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial ∇×E}{\partial t}\)
  4. 带入法拉第定理\(∇×E = -\frac{∂B}{∂t}\)即可得到\(-∇²B = -\frac{\partial(\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial B}{\partial t})}{\partial{t}}\)
  5. 整理得\(∇²B = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 B}{\partial t^2}\)

• 波动方程的一般形式

  \[∇²E = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} \]
  \[∇²B = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 B}{\partial t^2} \]

  最终的推导结果可见电场和磁场的方程形式完全一致，把其称为一组三维波动方程，归纳为一般形式：

  \[∇^2ψ=\frac{1}{v^2} \frac{∂^2ψ}{∂t^2} \]

  • \(ψ(r,t)\)是波动的位移，\(ψ\)表示在空间位置坐标\(r\)和时间\(t\)下波的振幅，作为描述波动的物理量，如对于电场是\(E\)、对于磁场是\(B\)

  • \(v\)是波在介质中的传播速度，对照电场与磁场的方程可得\(\frac{1}{v^2} =\mu_0\varepsilon_0\)，即$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $

    代入\(ε_0\)和\(μ_0\)的数值：\(v=\frac {1}{\sqrt{(4π×10^{−7})×(8.854×10^{−12})}}≈2.998×108 m/s\)，这正好近似实验测得的光速\(c\)，麦克斯韦由此预言：光是一种电磁波

    由此式也可知在不同介质中波速将随\(\mu\varepsilon\)的不同而改变

波动方程的解析

• 波动方程的含义

  • 方程左边：\(∇^2\)是第一章解释过的拉普拉斯算子，描述物理量数值与其邻域平均值的差异，也可以说是物理量在空间中的“弯曲”程度

    • 正值表示该点周围的值比该点低（局部凸起）
    • 负值表示该点周围的值比该点高（局部凹陷）
    • 零表示均匀分布或线性变化

  • 方程右边：二阶导数，描述物理量随时间变化的加速度，也可以说是物理量变化曲线的“凹凸性”

  综上，这个公式表示的是：物理量在空间中的二阶变化率正比于其在时间上的二阶变化率，空间弯曲度决定了时间演化的加速度，比例为\(\frac{1}{v^2}\)

  举最简单的一维的例子(以简化拉普拉斯算式)：一根琴弦的波动，其可以用\(\frac{∂^2y}{∂x^2}=\frac{1}{v^2} \frac{∂^2y}{∂t^2}\)表示，\(y\)为琴弦波动振幅，\(x\)为琴弦的位置，如果弦在某点向上弯曲\((\frac{∂^2y}{∂x^2}>0)\)，说明该点受到净向上的拉力，会向上加速，弯曲程度越大，波动的加速度越大

• 亥姆霍兹方程

  在前一篇介绍时谐电磁场时，我们提到复矢量表示下\(\frac{∂}{∂t}=jω\)，\(\frac{∂^2}{∂t^2}=-ω^2\)，因此波动方程可以写为

  \[∇²ψ +k^2ψ=0 \]

  这就是时谐电磁场的复矢量\(E\)与\(H\)在无源空间中满足的波动方程，又称亥姆霍兹方程

  对比波动方程可知这里出现的\(k=ω\sqrt{\muε}\)，其具体的含义我们在下文平面波的基本形状中再解释

• 波动方程的解

  符合波动方程的\(ψ\)即波动方程的解

  波动方程是线性偏微分方程，所以有线性性，满足叠加原理，在物理上意味着两个波可以互相穿过而不改变各自的性质

  波动方程最典型的解是平面波，其形式为：\(ψ(r,t)=Ae^{i(k\cdot r-wt)}\)，我们接下来以均匀平面波作为电磁波的一种理想情况进行解析

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电磁波的传播

电磁波概述

• 电磁波的波面形状

  电磁波的波面形状，简单来说，就是指在某一时刻，电磁波中振动相位相同的所有点所连成的几何面，这个面又称等相位面或波阵面,平面波的波阵面就如图所示：

  

  根据电磁波的波面形状，可以将电磁波分为：平面波（平行平面）、柱面波（同轴圆柱面）、球面波（同心球面）

• 平面波概述

  我们将电磁波的研究重点放在平面波上，因为复杂的电磁波可以看作是多个平面电磁波的叠加，掌握了平面电磁波的性质也就掌握了其他电磁波的性质

  所谓平面波，指电磁波的场矢量只沿着其传播方向变化，而与传播方向垂直的无限大平面内，电场强度\(E\)和磁场强度\(H\)的方向、振幅和相位都保持不变

  当然，这只是一个理想模型，并不现实存在，但在距离波源足够远的地方，呈球面的波阵面上的一小部分就可以近似为平面波

• 平面波的波函数

  对沿着+z方向(为了简化问题，我们只讨论这一个方向)的均匀平面波，其波函数可以用复数表示为

  \[E_x(z)=E_{xm}e^{-j(kz−Φ_x)} \]

  瞬时表达式则写为：\(E_x(z,t)=E_{xm}cos(ωt-kz+Φ_x)\)

  在这个表达式中出现了很多字母，我们一一解释：

  • \(Φ_x\)初始相位

  • \(ωt\)时间相位：在任意固定坐标\(z\)，场随时间\(t\)作周期变化；\(ω\)表示每过单位时间产生相位变化大小，即角频率

    相应的从角频率\(ω\)可得周期\(T=\frac{2\pi}{ω}\) 表示给定位置上时间相位变化\(2\pi\)的时间间隔，以及电磁波的频率\(f=\frac 1 T = \frac{ω}{2\pi}\)

  • \(kz\)空间相位：在任意固定时刻\(t\)，场随空间坐标\(z\)作周期变化；\(k\)表示每过单位距离产生的相位变化大小，即相位常数

平面波的基本性质

• 相位常数\(β\)与波数\(k\)

  前文说\(k\)是相位常数，表示每过单位距离产生的相位变化大小；但事实上\(k\)一般用于指波数，而广义上的相位常数用\(β\)表示——这两个概念真的非常容易混淆，它们走起来都像鸭子(描述相同的现象)，叫起来也都像鸭子(有相同的单位)，但一只是企鹅另一只是斑鸠，我尽量理清：

  波数(准确的说是角波数)描述的是单位长度内相位变化的弧度数，单位为\(rad/m\)，也就是波每前进了1m，相位会变化多少（即相位变化的快慢或波动的空间频率）

  • 在无损介质中，亥姆霍兹方程中的这个\(k\)是波数，可以导出\(k=ω\sqrt{με}\)

  • 在有损介质中，相位常数与频率不再是简单的线性关系，因为介电常数或磁导率是复数(见时谐电磁场复电容量与复磁导率)，那么亥姆霍兹方程中\(k\)也相应变为复数\(k_c=ω\sqrt{\muε_c}\)

    对于复数的波数\(k_c\)，我们定义复传播常数\(γ=jk_c\)，因为是复数，可以拆分为\(γ=α+jβ\)，其中\(α\)表示衰减常数，\(β\)表示相位常数

  相位常数\(β\)：相位常数实质上是复传播常数的虚部，它和波数\(k\)都描述波在传播过程中相位随空间位置变化的快慢，但其受到介质的损耗、色散关系的影响

  • 在无损介质中，\(γ=iβ\)(没有衰减常数)，波数等于相位常数：\(\beta=k=ω\sqrt{με}\)，所以\(\beta\)与\(k\)这两个符号在介绍理想介质的情况时能被混用

  • 在有损介质中，\(γ=α+iβ=jω\sqrt{\muε_c}\)，关于复传播常数、衰减常数、相位常数等具体情况在导电媒质的传播性质中再详细介绍

• 波长\(λ\)

  在任意固定时刻，空间相位差为\(2\pi\)的两个波阵面之间的距离即电磁波的波长

  1. 波数是距离每差1m变化的相位，波长是相位每差\(2\pi\)变化的距离
  2. 因此假设移动距离\(x\)，波长相位的变化量将会是\(k\cdot λ\)
  3. 而根据波长的定义，移动一个波长的距离，相位就变化\(2\pi\)
  4. 因此得到\(k⋅λ=2π\)

  综上得波数与波长的关系为\(λ=\frac {2\pi}{k}\)

  同时有\(k=ω\sqrt{\muε}=2\pi f\sqrt{\muε}\)，可得\(λ=\frac{1}{f\sqrt{\muε}}\)，可见电磁波的波长不仅与频率有关，而且与媒介的参数有关

• 相速\(v_p\)

  相速指的是电磁波的等相位面的传播速度

  对于电场\(E(z,t)=E_{m}cos⁡(ωt-\beta z)\)，选取一个恒定的相位点\(ωt-\beta z=常数\)，其相速为\(v_p=\frac{∂z}{∂t}=\frac{ω}{\beta}\)

  • 在理想介质中\(\beta=k={ω}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\)，此时的相速即\(v_p=\frac{ω}{\beta}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}\)（如果在真空中即为光速）这一表达式可见理想介质中频率和相速无关，只与媒介参数有关
  • 而在导电媒介中，相位常数与角频率不再呈线性关系，也即相速与频率有关，称为色散现象

• 波阻抗\(η\)

  波阻抗\(η\)为电场与磁场之比，反映电场与磁场的能量分配关系

  \(η=\frac E H=\sqrt{\frac {\mu}{ε}}\)，因其与媒介参数有关故也被称为媒介的本征阻抗或特征阻抗，这一表达式的具体推导过程可见后文电场与磁场互垂的证明

  在真空中为常数，即\(η_0= \sqrt{\frac {\mu_0}{ε_0}}≈377 Ω\)

平面波传播性质推导

• 横波

  电磁波是横电磁波(TEM波)，电磁强度\(E\)和磁场强度\(H\)都与波的传播方向垂直，电场和磁场都在“横向”振动，像抖动的绳子，而不是沿传播方向挤压(纵波)，如图：

  

  推导过程：以亥姆霍兹方程\(∇²E +k^2E=0\)与高斯定理 $ ∇⋅E=0$ 为理论基础

  1. 在直角坐标系下可得\(∇⋅E=\frac{∂E_x}{∂x}+\frac{∂E_xy}{∂y}+\frac{∂E_z}{∂z}\)，而由于是平面波，场只随z坐标变换而与x和y无关，也就是\(\frac{∂E_x}{∂x}=0\) 且 \(\frac{∂E_y}{∂y}=0\)

  2. 从而可得\(∇⋅E=\frac{∂E_z}{∂z}\)，由高斯定理可得\(∇⋅E=\frac{∂E_z}{∂z}=0\)

  3. 同理亥姆霍兹方程可简化为\(\frac{d^2E}{dz^2} +k^2E=0\)

  4. 综合两式，得到\(k^2E=0\)，也就是\(E_z=0\)

     也就是说电场在传播方向z上的分量为0，从而证明电场垂直于传播方向

  5. 磁场也有高斯定理，同理可证磁场也垂直于传播方向

• 电场与磁场互垂

  事实上，电场、磁场和传播方向之间都互相垂直，我们已经证明了电磁波是横波，现在证明电场与磁场之间保持互相垂直，以复矢量法拉第定理 \(∇×E = -jωB\) 为理论基础：

  1. \(∇×E = -jω\mu H\) 可改写为\(H=-\frac{1}{-jω\mu}∇×E\)

  2. 在直角坐标系下可得$ ∇×E=(-\frac{∂E_y}{∂z},\frac{∂E_x}{∂z},0)$

  3. 从而可得\(H=-\vec e_y\frac{1}{-jω\mu}\frac{∂E_x}{∂z}\)，再代入\(E_x=E_{xm}e^{-j(kz−Φ_x)}\)求导后得到\(H=\vec e_y\frac{k}{ω\mu}E_{xm}e^{-j(kz−Φ_x)}=\vec e_y \sqrt{\frac {ε}\mu}E_{xm}e^{-j(kz−Φ_x)}\)

     此步利用了 $k=ω\sqrt{με} $ 得到\(\sqrt{\frac {ε}\mu}\) 作为电场与磁场的比值的倒数，其可以被写为\(\frac 1η\)，这也就是波阻抗\(η=\sqrt{\frac \mu{ε}}\)的由来

  4. 同时因为\(\vec e_z \times E=\vec e_z×\vec e_x E_{xm}e^{-j(kz−Φ_x)}=\vec e_y E_{xm}e^{-j(kz−Φ_x)}\)，由此可见\(H=\frac 1η \vec e_z \times E\)

  由矢量运算的规则可见磁场\(H\)、电场\(E\)和传播方向\(\vec e_z\)互相垂直，并且遵循右手螺旋关系

• 电场与磁场同相位

  由\(H=\frac 1η \vec e_z \times E\) 的关系式可见：

  \(\frac 1η\) 是实数而非虚数，而叉乘只改变方向不改变复振幅相位，这也就说明电场\(E\)和磁场\(H\)之间没有相位差，同时达到最大值，同时过零点，即两者同相位

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导电媒质中的电磁波

色散现象

• 群速

  在介绍色散之前，需要引入群速的概念

  群速指的是包络波上任一恒定相位点的传播速度；如果说相速是一个人的速度，那么群速就是一群人的速度；

  因为单一频率的行波无法携带任何信号，包含了多个不同频率成分的调制波才能传递信息，群速是才是能量/信息传播速度，所以不能使用相速来描述一个信号在色散媒介中的传播速度，而所谓信号失真，就是不同频率分量传播相速度不同所导致的

  群速与相速之间的关系为\(v_g=\frac{dω}{d\beta}=\beta\frac{dv_p}{d\beta}=v_g+\frac ω {v_p} \frac{dv_p}{dω}v_g\)

  得到\(v_g=\frac{v_p}{1-\frac{ω}{v_p} \frac{dv_p}{dω}}\)，可见 \(\frac {dv_p}{dω}\) 将决定相速和群速之间的关系

• 色散

  所谓色散，指的是介质中不同频率的波相速不同的现象；如果说相速是一个人的速度，群速是一群人的速度，而色散就是这个队伍中不同的人速度不同的情况

  真空/理想/无损介质是无色散媒介，而导电媒介是色散媒介，相位常数与频率不再是简单的线性关系，\(β≠{ω}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\)，具体见后文相位常数的推导

  综合相速与群速的介绍，我们可以将不同色散媒介根据不同性质分为三类：

  • \(\frac {dv_p}{dω}=0\) ：无色散，此时 \(v_g=v_p\) ，相速与频率无关
  • \(\frac {dv_p}{dω}<0\)：正常色散，此时 \(v_g<v_p\) ，相速随频率升高而减小
  • \(\frac {dv_p}{dω}>0\)：反常色散，此时 \(v_g>v_p\) ，相速随频率升高而增加

导电媒质中的传播性质

• 导电媒质与理想介质的区别

  前文介绍了理想介质中电磁波的传播，而后我们又解释了电磁波在导电介质中传播时会发生的色散现象

  出现这种差别是因为对于导电介质，其电导率并非理想介质的0，会产生传导电流\(J=σE\)，这将导致电磁能量损耗，所以均匀平面波在导电媒质中的传播特性与理想介质不同，异同点包括：

  • 相同性质：在导电介质中电场、磁场、传播方向之间仍然互垂，仍是横波
  • 不同性质：在导电媒质中磁场与电场不再同相位

  具体推导见下文

• 传播常数\(γ\)

  在介绍波数与相位常数时，已经简单介绍过传播常数的由来：因为介电常数或磁导率是复数，那么亥姆霍兹方程中的\(k\)也相应变为复数\(k_c=ω\sqrt{\muε_c}\)，用传播常数\(γ=jk_c\)表示，其表达式为\(γ=jω\sqrt{\muε_c}\)

  在理想介质中，波函数表达式为\(E_x(z)=E_{xm}e^{-j(kz−Φ_x)}\)，而在导电介质中，既然波数变为复数，我们改用传播常数来写表达式\(E_x(z)=E_{xm}e^{-(γz−jΦ_x)}=E_{xm}e^{-αz}e^{-jβz}e^{−jΦ_x}\)

  • 因为波函数的形式基本不变，可以参照在理想介质中的流程推导得到\(H=\frac 1{η_c} \vec e_z \times E\)，因此在导电介质中电场、磁场、传播方向之间仍然互垂

  因为\(γ\)是复数，可以拆分为实部与虚部，写为\(γ=α+jβ\)，其中\(α\)是衰减常数，而\(β\)是相位常数

• 衰减常数α与相位常数β

  从复数表达式中可见\(e^{-αz}\)，这个部分称为衰减因子，用于表示电场的振幅随着传播距离增加而指数衰减；\(α\)是衰减常数，单位为\(Np/m\)

  而复数表达式中的\(e^{-jβz}\)称为相位因子，\(β\)是相位常数，用于描述单位长度内相位变化的弧度数，单位为\(rad/m\)

  从\(γ=α+jβ=jω\sqrt{\muε_c}\) 得到 \(γ^2=α^2+j2αβ-β^2=-ω^2\muε_c=−ω²μ(ε − j\frac{σ}ω) = −ω²με + jωμσ\)，由此可解得：

  • \(α=ω \sqrt{\frac{\muε}{2}[\sqrt{1+(\frac{σ}{ωε})^2}-1]}\)
  • \(β=ω \sqrt{\frac{\muε}{2}[\sqrt{1+(\frac{σ}{ωε})^2}+1]}\)，由此式可见相位常数\(β\)与频率不是线性关系，根据相速的公式\(v_p=\frac{ω}{\beta}\)，所以即便在同一种导电介质中，不同频率的电磁波相速不同，这就是色散现象的理论依据，导电媒质是色散媒质

• 导电媒质的本征阻抗\(η_c\)

  复介电常数\(η_c=\sqrt{\frac {\mu}{ε_c}}\)，这个复数可写为\(η_c=|η_c|e^{jΦ}\)

  由复电容率\(\varepsilon_c=|\varepsilon_c|e^{jδ}=ε-j\frac σ ω\)可得：\(η_c=\sqrt{\frac {\mu}{|\varepsilon_c|e^{jδ}}}=\sqrt{\frac {\mu}{|\varepsilon_c|}}e^{-j\frac δ 2}\)

  • \(|η_c|=\sqrt{\frac {\mu}{|ε_c|}}=\sqrt{\frac {\mu}{ε^2+(\frac σ ω)^2}}\)，表示电场与磁场振幅比值

  • \(Φ=\frac δ 2=\frac 1 2 arctan(\frac σ {εω})\)，表示电场超前磁场的相位角，既然导电媒质的本质阻抗\(η_c\)是一个复数，从磁场与电场的关系式可知在导电媒质中磁场与电场不再同相位

弱导电媒质中的均匀平面波

• 弱导电媒质概述

  弱导电媒质指的是\(\frac{σ}{ωε}<<1\)的导电媒质

  在这种媒质中，电导率远远小于介电常数，这表明位移电流起主要作用，传导电流的影响很小，可忽略

• 弱导电媒质中的传播性质

  根据前文推导的表达式可得传播常数\(γ=jω \sqrt{{\muε}[1-j(\frac{σ}{ωε})]}\)，在\(\frac{σ}{ωε}<<1\)条件下，可近似为\(γ≈jω \sqrt{{\muε}}(1-j\frac{σ}{2ωε})\)，从而得到：

  • \(α≈\frac σ 2 \sqrt{\frac {\mu}{ε}}\)
  • \(β≈ω \sqrt{\muε}=k\)
  • \(η_c≈\sqrt{\frac {\mu}{ε}} (1+j\frac{σ}{2ωε})\)

  仍有衰减，但与理想介质中的平面波传播特点相同

良导体中的均匀平面波

• 良导体概述

  良导体指的是\(\frac{σ}{ωε}>>1\)的导电媒质

  在这种媒质中，电导率远远大于介电常数，这表明传导电流起主要作用，位移电流的影响很小，可忽略

• 良导体中的传播性质

  传播常数\(γ\)在\(\frac{σ}{ωε}>>1\)条件下，可近似为\(γ≈\sqrt{jω\muσ}=(1+j)\sqrt{\pi f\muσ}\)，从而得到：

  • \(α≈β≈\sqrt{\pi f\muσ}\)

  • \(η_c≈\sqrt \frac{2\pi f\mu}{σ}e^{j\frac \pi 4}\)

  • \(v_p=\frac ω β≈ \sqrt\frac{{2ω}}{\muσ}\)

• 趋肤效应

  从上文可见电磁波的衰减随波的频率、媒介的磁导率和电导率增加而增大，因此高频电磁波在良导体中衰减得非常快，局限于导体表明附近的区域，这种现象称为趋肤效应

  用趋肤深度\(δ\)来表征电磁波的趋肤深度，定义为电磁波幅值衰减为表面值\(\frac 1 e\)时所达到的深度，即\(e^{-αδ}=\frac 1 e\)

  由此定义可得\(δ=\frac 1 α=\sqrt \frac 2{ω\muσ}\)，因为良导体\(α≈β\)，所以也可以写成\(δ≈\frac 1 β=\frac {λ}{2\pi}\)

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电磁波的极化

极化概述

• 电磁波的极化

  对沿着z方向传播的均匀平面波，其电场强度矢量始终保持在x方向，表示为\(E(z,t)=E_0cos⁡(ωt-kz+Φ_x)\vec e_x\)

  而沿着z方向传播的均匀平面波在x和y方向的分量都存在，表示为\(E_x=E_{xm}cos⁡(ωt-kz+Φ_x)\) 与 \(E_y=E_{ym}cos⁡(ωt-kz+Φ_y)\)

  这两个分量的合成波电场即\(E=E_x\vec e_x+E_y\vec e_y\)

  由于两个分量的振幅和相位不一定相同，因此在空间任意给定点上，合成波电场强度矢量的大小和方向可能会随时间变换，这种现象即电磁波的极化

• 极化形式

  合成波的极化形式取决于$E_x $ 分量和$E_y $分量的振幅和相位之间的关系

  为了简单起见，取z=0的定点来讨论，此时\(E=E_{m}cos⁡(ωt+Φ)\)，极化形式取决于两个分量之间的相位差\(Φ_y-Φ_x\)

  因为前面已经证明了磁场与电场保持正交，所以在后文讨论极化形式时我们只看电场即可

极化的分类

• 想要更直观地理解极化的过程可以看这个视频：https://www.bilibili.com/video/BV1wx411S7jY

• 直线极化波

  $E_x $ 分量和\(E_y\) 分量的相位相同或相差\(\pi\) （\(Φ_y-Φ_x=0\)或\(±\pi\)）

  这种情况下这两个正交的波叠加在一起，合成波将始终处在同一平面上，正对着传播方向来看，合成波只在一条线上振动，因此称为直线极化波

  • 合成波电场强度大小：\(E=\sqrt{E_{xm}^2+E_{ym}^2}cos⁡(ωt+Φ_x)\)

    合成波电场与\(E_x\)分量之间的夹角：\(θ=arctan \frac{E_y}{E_x}\)，其中\(cos⁡(ωt+Φ_x)\)部分被约去，因此合成波电场大小随时间变化，但矢量轨迹与\(E_x\)夹角保持不变，形成直线极化波

• 圆极化波

  $E_x $ 分量和$E_y $ 分量的振幅相等，相位恰好相差\(\frac {\pi}{2}\) （\(E_{xm}=E_{ym}=E_m\) 同时 \(Φ_y-Φ_x=±\frac{\pi}{2}\)）

  这种情况下电场矢量旋转，但大小不变，正对着传播方向来看，合成波如时钟秒针一样不停画圆

  圆极化波有左旋和右旋之分：满足左手关系(拇指指向传播方向，比个赞，其余四指转向与电场矢量随时间旋转方向一致)的是左旋(顺时针)，反之为右旋(逆时针)；这由 \(Φ_y-Φ_x=\frac{\pi}{2}\) 还是 \(Φ_y-Φ_x=-\frac{\pi}{2}\) 决定

  • 左旋圆极化波 \(Φ_y-Φ_x=\frac{\pi}{2}\)：

    此情况下\(E_x=E_mcos⁡(ωt+Φ_x)\) 且 \(E_y=E_mcos⁡(ωt+\frac{\pi}{2}+Φ_x)=-E_msin⁡(ωt+Φ_x)\)

    合成波电场强度大小：\(E=E_m\)

    合成波电场与\(E_x\)分量之间的夹角：\(θ=arctan \frac{E_y}{E_x}=-(ωt+Φ_x)\)，其中\(E_x\)与\(E_y\)相等约去，因此合成波电场大小保持不变，但矢量轨迹与\(E_x\)夹角随时间变化，形成圆极化波

  • 右旋圆极化波 \(Φ_y-Φ_x=-\frac{\pi}{2}\)：

    此情况下\(E_x=E_mcos⁡(ωt+Φ_x)\) 且 \(E_y=E_mcos⁡(ωt-\frac{\pi}{2}+Φ_x)=E_msin⁡(ωt+Φ_x)\)

    合成波电场强度大小：\(E=E_m\)

    合成波电场与\(E_x\)分量之间的夹角：\(θ=arctan \frac{E_y}{E_x}=ωt+Φ_x\)

• 椭圆极化波

  也就是最一般的情况，不符合上述两类条件都会形成椭圆极化波

  这种情况下随时间既有电场强度大小的变化，也有电场矢量旋转的变化

  • 为了简化计算，取\(Φ_x=0\) 且 \(Φ_y=Φ\)，此情况下\(E_x=E_{xm}cos⁡(ωt)\) 且 \(E_y=E_{ym}sin⁡(ωt+Φ)\)，从这两式中消去\(t\)得到椭圆方程：

    \((\frac {E_x}{E_{xm}})^2+(\frac {E_y}{E_{ym}})^2-\frac {2E_xE_y}{E_{xm}E_{ym}}cosϕ=sin^2ϕ\)

    所构成椭圆的长轴与\(E_x\)分量的夹角\(Ψ\)则为\(tan2Ψ=\frac {2E_{xm}E_{ym}}{E_{xm}^2-E^2_{ym}}cosϕ\)

    依旧有左旋和右旋之分，判断方式同上