合集-高等计数基础：群论

第一章：群和子群的定义
摘要：群的定义 群是满足如下条件的二元组 \((G, \times)\)，其中 \(G\) 是一个集合，\(\times\) 是一个二元运算。 封闭性：\(\forall a, b\in G, a\times b \in G\) 结合律：\(\forall a, b, c\in G, (a\times b 阅读全文
posted @ 2025-04-12 15:02 yanzihe 阅读(238) 评论(0) 推荐(0)
第二章：陪集和拉格朗日定理
摘要：陪集的定义 对于两个群 \(H, G\)，如果 \(H\leq G, g\in G\)，则定义左陪集： \(gH=\{g\times h|h\in H\}\) 定义右陪集： \(Hg=\{h\times g|h\in H\}\) 陪集的性质 如果 \(H\leq G, g\in G\)，则有： \( 阅读全文
posted @ 2025-04-12 15:29 yanzihe 阅读(90) 评论(0) 推荐(0)
第三章：置换群
摘要：对称群 对于集合 \(A\)，定义对称群是由全体 \(A\rightarrow A\) 的双射构成的群（运算是映射的复合），记做 \(\text{Sym}(A)\)。 当 \(A\) 是有限集时，设 \(n=|A|\)，则称 \(\text{Sym}(A)\) 为 \(n\) 次对称群，记作 \(S 阅读全文
posted @ 2025-04-18 12:57 yanzihe 阅读(114) 评论(0) 推荐(0)
第四章：群作用，轨道-稳定子定理和 Burnside 引理
摘要：群作用 考虑群 \(G\) 和集合 \(X\)，如果有二元运算 \(g*x(g\in G, x\in X)\) 满足如下性质，则称群 \(G\) 作用于 \(X\)。 \(g*x\in X\) \(g1\times (g2*x)=(g1\times g2)*x\) \(e*x=x\) 为了书写简便， 阅读全文
posted @ 2025-04-16 13:53 yanzihe 阅读(222) 评论(0) 推荐(0)
第五章：Pólya 定理及一些运用
摘要：在上一章的最后，我们使用 Burnside 引理解决了 【模板】Pólya 定理。但是，这类题其实可以被 Pólya 定理更好的解决。 Pólya 定理 设 \(G, X\) 均有限且 \(G\) 作用在 \(X\) 上，\(Y\) 是一个有限集（你可以认为其中的每一个元素都是一种颜色），定义 \( 阅读全文
posted @ 2025-04-18 14:36 yanzihe 阅读(60) 评论(0) 推荐(0)
数据分析之线段树入门
摘要：前置知识： OI中的群论初步 线段树 幺半群 对于集合 \(G\) 和二元运算 \(*\)，如果满足如下条件，则称二元组 \((G, *)\) 是幺半群： \(\forall g_1, g_2\in G, g_1*g_2\text{有定义并且} g_1*g_2\in G\)（封闭性） \(\exis 阅读全文
posted @ 2025-05-03 15:54 yanzihe 阅读(94) 评论(0) 推荐(0)