第一章：群和子群的定义

群的定义

群是满足如下条件的二元组 \((G, \times)\)，其中 \(G\) 是一个集合，\(\times\) 是一个二元运算。

• 封闭性：\(\forall a, b\in G, a\times b \in G\)

• 结合律：\(\forall a, b, c\in G, (a\times b)\times c=a\times(b\times c)\)

• 单位元存在性：\(\exists e\in G\ \text{s.t.} \forall a\in G, a\times e=e\times a=a\)（称这样的 \(e\) 是 \(G\) 的单位元）

• 逆元存在性：\(\forall a \in G, \exists b \in G\ \text{s.t.} a\times b=b\times a=e\)（称这样的 \(b\) 为 \(a^{-1}\)）

可以证明，一个群满足如下两个推论：

• 推论 1：群的单位元唯一
  证明：假设 \(e_1, e_2\in G\) 且 \(e_1, e_2\) 都是 \(G\) 的单位元。
  那么因为 \(e_2\) 是单位元，\(e_1\times e_2=e_1\)。同理，\(e_1\times e_2=e_2\)，所以 \(e_1=e_2\)。因此群的单位元唯一。

• 推论 2：群中任意元素 \(a\)，它的逆元唯一
  证明：假设 \(b_1, b_2\in G\) 都是 \(a\) 的逆元，则根据结合律，有：
  \((b_1\times a)\times b_2=b_1\times(a\times b_2)\)
  所以有 \(e\times b_2=b_1\times e\)
  即 \(b_1=b_2\)
  因此逆元唯一。

如果一个群 \((G, \times)\) 满足 \(\forall a, b\in G, a\times b=b\times a\)，则称这个群是阿贝尔群。

如果一个群 \((G, \times)\) 满足 \(G\) 是有限集，则称这个群是有限群，称 \(G\) 是这个有限群的阶，记作\(|(G, \times)|\)。

子群的定义

如果 \(H\subseteq G\)，并且 \((H, \times)\) 和 \((G, \times)\) 都是群，则称 \((H, \times)\) 是 \((G, \times)\) 的子群，记作:
\((H, \times)\leq(G, \times)\)
如果 \(H={e}\) 或者 \(H=G\)，则称\((H, \times)\) 是 \((G, \times)\) 的平凡子群，反之，则是非平凡子群。

习题

一.判断如下二元组是否是群：

1. \((\mathbb{R}^*, \times)\)
2. \(((-\infty, 4)\cup(4, +\infty), +)\)
3. \((\mathbb{N}, +)\)
4. \((\mathbb{Z}^*, +)\)
5. \((\mathbb{Q}^*, \div)\)
6. \((\varnothing, \times)\)
7. \((\{1\}, \times)\)
8. \((\text{定义域和值域均是全体实数的所有严格增函数}, \text{映射复合})\)

二.对于下列集合，分别构造运算 \(\times\)，使得它们和 \(\times\) 构成的二元组是群：

1. \((-\infty, 4)\cup(4, +\infty)\)
2. \(\{3, 4, 5, 6\}\)
3. \(\{\sin(1), \pi, \sqrt 2\}\)

三.是否所有群 \(G\),都有 \(H\) 是 \(G\) 的子群并且 \(H\ne G\)？如果是，请证明，如果否，请构造反例。

四.判断该命题是否正确：如果 \(g\in G\)，并且其逆元为 \(g^{-1}\)，那么 \(\forall H\leq G\) 且 \(g\in H\)，都有 \(g^{-1}\in H\)。

五.判断该命题是否正确：如果 \(e\) 是 \(G\) 的单位元，则 \(\forall H\leq G\)，都有 \(e\in H\)。

四.找出下列群的一个非平凡子群或者证明其没有非平凡子群：
1.\((\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}, \triangle)\)(定义 \(a\triangle b=(a+b)\mod 6\))
2.\((\text{全体多项式函数}, \text{多项式乘法})\)
3.\((\text{定义域和值域均是全体实数的所有严格增函数}, \text{函数复合})\)