第二章：陪集和拉格朗日定理

陪集的定义

对于两个群 \(H, G\)，如果 \(H\leq G, g\in G\)，则定义左陪集：

\(gH=\{g\times h|h\in H\}\)

定义右陪集：

\(Hg=\{h\times g|h\in H\}\)

陪集的性质

如果 \(H\leq G, g\in G\)，则有：

• \(|gH|=|H|\)（当 \(|H|\) 是有限群时成立）
• \(g\in gH\)
• \(gH=H\iff g\in H\)
• \(g_1H=g_2H\iff g_1^{-1}\times g_2\in H\)
• \(Hg_1=Hg_2\iff g_1\times g_2^{-1}\in H\)
• \(g_1H\cap g_2H\ne\varnothing \iff g_1H=g_2H\)
• \(\bigcup_{g\in G}gH=G\)

习题

一.证明上述陪集的性质。

二.证明如果 \(H\leq G, g\in G\)，那么 \((gH, \times)\) 是群当且仅当 \(g\in H\)。

三.证明如果 \(b\in G, H\leq G, h\in H\)，那么 \(H(hb)=Hb\)。

三.定义\(G/H=\{gH|g\in G\}， H\setminus G=\{Hg|g\in G\}\)，求证 \(|G/H|=|H\setminus G|\)

解法

考虑引理： > $aH=bH \iff Ha^{-1}=Hb^{-1} $

证明：\(aH=bH \iff a^{-1}b\in H \iff Ha^{-1}=Hb^{-1}\)

考虑映射 \(f:G/H\to H\setminus G\)，满足 \(f(aH)=Ha^{-1}\)。

设 \(aH\ne bH\)，根据引理有 \(Ha^{-1}\ne Hb^{-1}\)，所以 \(f\) 是单射。

所以有 \(|G/H|\leq|H\setminus G|\)。同理有 \(|G/H|\geq|H\setminus G|\)，所以 \(|G/H|=|H\setminus G|\)

拉格朗日定理

若 \(H\leq G\)，定义 \(G/H=\{gH|g\in G\}\)，定义 \(|G:H|=|G/H|\)。

对于有限群 \(G\) 和 \(H\leq G\)，有 \(|H|\times|G:H|=|G|\)（注意这里的乘法是正整数乘法，而非 \(G\) 中的运算）

习题

一.利用陪集的性质，证明拉格朗日定理。

二.证明 \(9\) 阶群不存在 \(4\) 阶子群。

二.设 \(G_1, G_2, ..., G_n\) 是有限群且满足 \(G_1\geq G_2 \geq ... \geq G_n\)，求证 \([G_1:G_n]=\prod_{i=1}^{n-1}[G_i:G_{i+1}]\)。