XP3301Pipi

摘要： 斐波那契与公约数 设斐波那契数列第 \(i\) 项为 \(f_i\)。 \[f_i=\begin{cases}1 &(i\leq 2)\\f_{i-1}+f_{i-2} &(i>2)\end{cases} \]Lemma 1 \[\gcd(f_i,f_{i+1})=1 \]Proof 1 数学归纳法 阅读全文

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摘要： 概率与期望 1.事件 i.实验，结果与结局 事件 A 是否发生取决于一系列影响它的因素，这些因素影响 A 的 过程称为一次 实验(experiment) 或 试验(trial)。 一次试验的 结果(result) 称为它的 结局(outcome) result 指由原因所引起的结果 outcome 阅读全文

摘要： 扩展欧几里得算法（Exgcd） 裴蜀定理 对于任意一组整数 \(a,b\)，存在一组整数 \(x,y\)，满足 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。 Proof： 考虑数学归纳法。 当 \(b=0\) 时，由于 \(\gcd(a,0)=a\)，则对于 \(ax+0y=a\) 这个不定方程，\(x 阅读全文

摘要： 组合数学-二项式系数 1. 帕斯卡公式 \[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} \]分两种情况： 在前 \(n-1\) 个中已经选出 \(m\) 个； 在前 \(n-1\) 个中选出 \(m-1\) 个，加上刚刚选的第 \(m\) 个。 可用于 阅读全文

摘要： 同余 1. 模运算基本性质 基本概念 若整数 \(a,b\) 除以 \(p\) 的余数相等，则称 \(a,b\) 在模 \(p\) 意义下同余，记作 \(a \equiv b \pmod{p}\) 或者 \(a \bmod p=b \bmod p\)。 性质 \((a+b) \bmod p =(a 阅读全文

摘要： 1.调和级数 \[\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}=O(\log n) \] Proof（粗略计算）： \[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}&= \sum_{i=0}^{\log n} \sum_{j=2^i}^{2^{i+1}-1}\f 阅读全文