CF1765C Card Guessing 做题记录

CF1765C Card Guessing

Description

有 \(4\) 种花色的牌，每种牌均为 \(n\) 张，则牌的排列⼀共有 \((4\cdot n)!\) 种。

现在你从牌堆中逐张地取出牌，取牌之前你都会猜这张牌是什么花色。你会根据之前的 \(k\) 张牌中出现最少的花色来猜这张牌。

如果有多种花色都是最少的，你随机地猜一种。

如果之前抽出的牌不足 \(k\) 张，就按之前的所有牌中的最少花色来猜。

问你猜对的期望次数是多少？

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Solution

令 \(m=4n\)。设 \(m\) 个随机变量 \(X_1,X_2,...X_m\)，\(X_i\) 取值为 \(1\) 表示第 \(i\) 次猜对，否则没有猜对。

那么我们求的是：

\[E(\sum X_i)=\sum E(X_i)=\sum P(X_i=1) \]

独立地求出每一次猜对的概率，加和即为答案。

设 \(L=\min(i-1,k)\)，我们称之前的 \(L\) 张牌为 “依据牌”。首先有一个比较重要的观察：在依据牌中存在多种最少的花色时，无论猜哪一个花色，猜对概率都是一样的。

原因很简单，在依据牌固定的情况下，设它们在依据牌中出现的次数为 \(c\)，那么下面一张牌猜对的概率都是 \(\dfrac{n-c}{m-L}\)。

考虑概率转计数。那么题意转化为：

• 对每一个 \(i \ (1\leq i \leq m)\) 求：有多少个序列，使得 \(i\) 的花色为 \(A_{i-L} \sim A_{i-1}\) 中出现次数最少的花色。 若有多种最少的花色，则令 \(i\) 为最少的花色中编号最小的。

首先考虑如何计算答案。设这 \(L+1\) 张牌组成的序列数量为 \(B\)，那么对应的概率为：

\[\dfrac{B \times (m-L-1)!}{m!}=\dfrac{B\times (m-L-1)!}{(m-L-1)!A_{m}^{L+1}}=\dfrac{B}{A_{m}^{L+1}} \]

现在我们的答案只和这 \(L+1\) 张牌有关。

枚举这 \(L\) 张牌中出现次数最少的花色出现了几次。由于每个花色出现个数被 \(n\) 限制，不易直接用组合数求解，那么考虑 dp 求解：

设 \(f_{i,j,l}\) 表示考虑到第 \(i\) 种花色，选了 \(j\) 张牌，最小出现花色为 \(l\) 的方案数。

我们选择下一种花色分为三步：

1. 在 \(n\) 张牌中选择 \(t\) 张；
2. 对这 \(t\) 张牌进行排列；
3. 将这 \(t\) 张牌插入到已经选好的 \(j\) 张牌中。

得出转移：

\[f_{i,j,l} \times\binom{n}{t}\times t!\times\binom{j+t}{t}\rightarrow f_{i+1,j+t,\min(j,l)} \]

这个部分复杂度为 \(O(n^3)\)。

对于一个 \(L\)，枚举依据牌中出现最少的花色的出现次数 \(l\)，那么后面的 \(i\) 就有 \(n-l\) 种选择。那么得到 \(i\) 猜对的序列个数为：

\[g_L=\sum_{l\geq 0} (f_{4,L,l}\times(n-l)) \]

这个部分复杂度为 \(O(n^2)\)。

由于第 \(1\) 张牌前没有依据牌，需要单独计算。最终的答案为：

\[Ans=\dfrac{1}{4}+\sum_{i=2}^m\dfrac{g_L}{A_{m}^{L+1}} \]

int n,k,m;

const ll mod=998244353;

ll Mod(ll x){return (x>=mod)?(x-mod):(x);}

void Add(ll &x,ll y){x=Mod(x+y);}

ll f[6][M][M],fac[M],caf[M],g[M],h[M];

ll QuickPow(ll x,ll y){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod; y>>=1;
    }
    return res;
}

void Init(){
    fac[0]=caf[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    caf[m]=QuickPow(fac[m],mod-2);
    for(int i=m-1;i;i--) caf[i]=caf[i+1]*(i+1)%mod;
}

ll C(int x,int y){
    if(x<0||y<0||x<y) return 0;
    return fac[x]*caf[y]%mod*caf[x-y]%mod;
}

signed main(){
    read(n),read(k); m=n<<2;
    Init();
    for(int i=0;i<=m;i++) f[1][i][i]=C(n,i)*fac[i]%mod;
    for(int i=1;i<=3;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            for(int l=0;l<=j;l++){
                if(!f[i][j][l]) continue;
                for(int t=0;t<=n&&j+t<=m;t++){
                    Add(f[i+1][j+t][min(l,t)],f[i][j][l]*C(n,t)%mod*C(j+t,t)%mod*fac[t]%mod);
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            Add(g[i],f[4][i][j]*(n-j)%mod);
            Add(h[i],f[4][i][j]);
        }
    }
    ll ans=QuickPow(4,mod-2);
    for(int i=2;i<=m;i++){
        int j=min(i-1,k);
        ll H=C(m,j+1)*fac[j+1]%mod;
        ll inv=QuickPow(H,mod-2);
        Add(ans,g[j]*inv%mod);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}