随笔分类 - 数论
摘要：VI.[AGC038E] Gachapon 因为模型同III.重返现世长得很像，所以我们也来考虑minmax容斥。 首先，我们仍然翻出式子 \(\max(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\min(\m
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摘要：V.[51Nod1355]斐波那契的最小公倍数 引理1. 设 \(f_i\) 表示斐波那契数列中第 \(i\) 项，则 \(\gcd(f_i,f_j)=f_{\gcd(i,j)}\)。 一种证明方法是打表 另一种证明方法是，首先有 \(f_{i+j}=f_{i−1}f_j+f_if_{j+1}\)（
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摘要：IV.UOJ#422. 【集训队作业2018】小Z的礼物 考虑直接上minmax容斥。然后，考虑DP求出对于所有的 \(\Big(|\mathbb T|,\min(\mathbb T)\Big)\) 二元组，满足其的 \(\mathbb T\) 个数。又因为 \(n\) 很小，我们尝试轮廓线DP。故
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摘要：II.[PKUWC2018]随机游走 无脑上minmax容斥。问题转换为求从起点 \(S\) 出发，到达集合 \(\mathbb S\) 中某一点的期望时间。 因为有环，考虑直接爆上高斯消元，时间复杂度 \(O(n^32^n)\)。 看上去不太能过？但是这份代码卡常卡得比较优美，加上又没有出菊花图卡
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摘要：I.[HAOI2015]按位或 在本题中，\(\min\mathbb S\) 表示 \(\mathbb S\) 中第一个被取到的位置被取到的时间，\(\max\mathbb S\) 表示最后一个被取到的位置被取到的时间。则我们要求的就是 \(\text E(\max\mathbb S)\)。 现在，
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摘要：这里是minmax容斥学习笔记。 minmax容斥是一种神奇的可以在一个集合的 \(\min\) 和 \(\max\) 间架起桥梁的工具。它的公式如下： \(\max(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}
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摘要：本文绝大部分内容来自《混凝土数学》 在被多项式爆踩的时候，我偶然发现了《混凝土数学》这本书，然后兴冲冲入手，一看啥都不会，于是就只能在这里带着推推柿子，尝试理解理解，也方便以后复习。 （本文略过了大部分对OI无用的芝士，可以放心食用） （顺带一提这略掉的东西可能还有点多） 现在开始！ I.下降幂与上
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摘要：VII.exBSGS（扩展大步小步算法） 同理，exBSGS适用于 \(a^x\equiv b\pmod p\) 的情形。只不过，这里不再要求 \(a\perp p\)（这里 \(\perp\) 符号表示互质）。 若 \(\gcd(a,p)\neq1\)，则记其为 \(d_1\)，显然 \(a\)
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摘要：VI.BSGS（大步小步算法） 欢迎来到 北上广深 拔山盖世 比赛搞事 不算个事 算法学习现场。 BSGS，全名 Baby Step Giant Step 算法，是用于求解 \(a^x\equiv b\pmod p\)，其中 \(\gcd(a,p)=0\) 的算法。 我们记 \(K=\sqrt{p}
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摘要：V.阶与原根 实际上这部分内容在OI中应用很少，但它是一些重要思想以及算法的基础。 阶是在互质数 \((a,m)\) 间的定义：满足 \(a^n\equiv1\pmod m\) 的最小 \(n\) 被称作 \(a\) 模 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)。 明显，在 \(a,m
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摘要：III.Lucas（卢卡斯定理） Lucas定理： \(\boxed{\dbinom nm\equiv\dbinom{n\bmod p}{m\bmod p}\times\dbinom{n/p}{m/p}\pmod p}\) 该式子仅适用于 \(p\) 为质数的情形。 证明： 首先，对于 \(i\in
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摘要：II.exCRT（扩展中国剩余定理） 上文我们说到，CRT仅适用于 \(m\) 两两互质的情形。那如果不保证这一限制，明显原方程是仍然有解的，如何求解呢？ 在上文的最后，我们成功将三个式的方程消到了两个，在这里能否继续？ 我们考虑这个式子： \(x=a+\alpha A=b+\beta B\) 其等
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摘要：I.CRT（中国剩余定理） 中国剩余定理： 已知方程 \(\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\\vdots\\x\equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}\) 则我们设$M=\prod\limits_nm_i,M_i=\dfrac,b_i=(M
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摘要：IV.LOJ#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和 首先先考虑莫反推一波式子。 \(\begin{aligned}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf^k\Big(\gcd(i,j)\Big)\\=&\sum
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摘要：III.UOJ#188. 【UR #13】Sanrd 题意：求 \(\sum\limits_{i=l}^rf(i)\)，其中 \(f(i)\) 为 \(i\) 的次大质因子。 显然其可以被转为两个前缀和相减的形式。 明显 \(f(i)\) 并非积性函数，所以常规min25筛处理不了。但是我们可以用非
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摘要：II.LOJ#6053. 简单的函数 重申一下min25筛应用的条件： 是积性函数。 质数处取值是低阶多项式。 质数次幂处取值可以快速求出。 满足以上三点的任意函数均可以min25筛。 现在看到这题。乍一看 \(p\operatorname{xor}a\) 这种东西看上去一脸非多项式的样子；但是因为
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摘要：4.min25筛 听说这玩意能干杜教筛干不了的事？ 同杜教筛一样，这也是用来求积性函数前缀和的东西。其复杂度为 \(O(\dfrac{n^{0.75}}{\log n})\)，大部分时候要略优于杜教筛。 min25筛作用的积性函数，应保证对于一切质数 \(p\)，\(f(p)\) 均是有关 \(p\
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摘要：VII.[NOI2016] 循环之美 依据小学数论知识，我们要求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]\) 因为后面的 \(k\) 是个常数，所以我们就想把它搞出来。 \(\begin{aligned}&
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摘要：VI.LJJ爱数数 题目给出要求这样的东西 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\) 开始胡搞 \(\begin{aligned}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}&=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{a+b}{ab}&=\dfra
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摘要：V.Product 要求这个东西： \(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\dfrac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)}\) 开始推式子。 \(\begin{aligned}\\&\prod_{i=1}^n\prod
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