随笔分类 - 数论
摘要：IV.Lcm 既然上一道题中的DZY都能自定义函数，那我们为什么不能呢？ 定义$f(x)$为$x$中是否含有平方项。没有则为$1$，有则为$0$。显然，它是积性函数。而我们要求的，就是 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\dfrac{ij}{\gcd(i,j)}f(\gcd(i,j
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摘要：III.DZY Loves Math 题意：求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j))\)，其中$f(x)$表示$x$的所有质因数中次数最高的一个的次数。 近乎套路的一堆操作后，我们得到了 \(\sum\limits_{i=1}^{\
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摘要：II.[CQOI2015]选数 我们要求这个东西： \(\sum\limits_{a_1=L}^R\sum\limits_{a_2=L}^R\dots\sum\limits_{a_n=L}^R[\gcd\limits_{i=1}^n(a_i)=k]\) 老套路，除一下，得到 \(\sum\limit
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摘要：I.简单的数学题 在做这题之前，我们先来见一位老朋友： \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\gcd(i,j)\) 我们在1.v.[NOI2010]能量采集中就已经接触到了这道题。当时我们运用了$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\
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摘要：3.杜教筛 之前在做莫反的题时，有很多题都需要用到杜教筛，因而我非常不爽。因此便来研究杜教筛了。 杜教筛可以干什么？ 在非线性时间内（准确说，\(O(n^{\frac{2}{3}})\)）求出某些积性函数的前缀和。例如，\(\sum_{i=1}^n\mu(i)\)。 怎么办呢？ 假设我们要求$S(n
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摘要：2.狄利克雷卷积与数论函数 在1.v.[NOI2010]能量采集中，我们第一次认识到了狄利克雷卷积这个概念。下面我们将介绍它的更多性质。 我们之前得到了如下性质： \(\boxed{h(n)=(f*g)(n)\Leftrightarrow h(n)=\sum_{d|T}f(d)*g(\dfrac{T
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摘要：ix.[51Nod1222]最小公倍数计数 求 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\operatorname{lcm}(i,j)\in[a,b]\Big]\)。 考虑差分，问题转换为 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\
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摘要：viii.[SDOI2017]数字表格 题意：求出 \(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)}\)，其中$f$是斐波那契数列。 就算是积，我们也一样能反演，只是反演到了指数头上。 \(\begin{aligned}\prod_{i=
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摘要：vii.[SDOI2014]数表 仍然是线性筛筛各种东西。我们引出一个东西$\sigma(x)=\sum\limits_{d|n}d$，也就是$x$的约数和。这个东西明显是积性函数。设$x=\prod\limits_n(P_i)\(，则\)\sigma(x)=\prod\limits_n(\sum\
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摘要：vi.于神之怒加强版 在这之前，我们引出一个数论函数$idk(x)=xk$。这个函数就是整数域上的$k$次函数。很明显，它是积性函数，准确地说，是完全积性函数。 它的两个特例，一是$k=1$，就是我们之前提到的$id$函数。二是$k=0$，即$id0$函数。因为$\forall x\in\mathb
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摘要：v.[NOI2010]能量采集 真正自己做出来的第一道莫反题祭~~~~ 题意： 求$\sum_^n\sum_^m(2\gcd(i,j)-1)$。 开始推式子： \(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(2\gcd(i,j)-1) & =2\sum_{i=1}
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摘要：iv.[SDOI2015]约数个数和 完蛋了，我们前几题里面都有$\gcd(\dots)$，但是这道题没有，怎么办呢？ 引理： \(\boxed{d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[\gcd(x,y)==1]}\) 换句话说，两个数$(i,j)$积的因数
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摘要：iii.[HAOI2011]Problem b 第一道自己做出来的莫比乌斯反演题祭~~~ 实际上就是对上一道题套上一个类似于二维前缀和的东西。 把上一道题的东西的答案设为$calc(a,b,d)$， 则依据容斥原理，本题答案即为$calc(b,d,k)-calc(a-1,d,k)-calc(b,c-
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摘要：ii.[POI2007]ZAP-Queries 如果前一道题没有听懂的话，是我的锅。毕竟这道题应该放在第一道题，上一道题明显是这道题的升级版。 首先，观察一下题目，发现这道题让我们求的就是上一道题中的$f(d)$。 我们再来推一下$f(d)$： 设$f(x)\(为\)\gcd(i,j)=x$的个数，
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摘要：I.YY的GCD 这就是莫比乌斯反演？咋长得不像呢？ 我们看一下式子： \(ans=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)\ is\ prime]\)。其中方括号相当于强制把方括号内的东西转成$bool$形。 完蛋了，这个里面看不到任何函数，
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摘要：1.莫比乌斯函数与莫比乌斯反演 O.约定 \(\color{white}\colorbox{red}{本blog中所有的分数，无论有无下取整符号，均默认下取整。}\) 主要是因为我太懒了，下取整符号的$\LaTeX$表达式太长了 I.作用 设有一函数$g(n)=\sum\limits_{d|n}f(
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摘要：XXXI.CF626G Raffles 首先，我们列出“往一个奖池内多投一张彩票”，在奖项为 \(c\)、初始有 \(a\) 张、当前已经又投了 \(r\) 张时的额外收益： \(c\times\Big(\dfrac{r+1}{a+r+1}-\dfrac{r}{a+r}\Big)\) 稍微化简一下就
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摘要：XVIII.CF679E Bear and Bad Powers of 42 一个显然的想法是，观察到可能的值域（\(10^{14}\)）内不会有很多（准确地说，一共$11$个）$42$的整数次幂。于是我们考虑每次暴力修改，则每个数最多被处理$11$次，复杂度显然是可以承受的。 于是我们现在问题就转
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摘要：XVII.[SDOI2017]龙与地下城 本题在模意义下和实数意义下，小范围和大范围下各有几种做法。 我们此处定义有$n$个骰子，每个骰子有$m$面。 小数据范围 明显发现它就是$f(x)=\frac{\sum\limits_xi}$的$n$次方。 于是直接倍增计算快速幂即可。时间复杂度$O(nm\
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摘要：XVI.[BJOI2018]治疗之雨 一眼能看出这是道高斯消元题。 我们设$f_i$表示当前英雄血量为$i$时期望多少次死掉。 则我们有 \(f_i=\dfrac{1}{m+1}\times\Big(\sum\limits_{j=0}^iq_jf_{i+1-j}\Big)+\dfrac{m}{m+1
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