随笔分类 - 数论
摘要：XIV.[JXOI2018]排序问题 本题好像又不算期望罢…… 根据一些简单的推理，我们发现最终答案就是 \(\dfrac{(n+m)!}{\prod\limits_{i}cnt_i!}\) 其中$cnt_i$表示有多少个数是$i$。（这很简单，因为只有每个位置一一对应才能排序成功；但是值相同的数之
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摘要：XIII.[JXOI2018]游戏 这题好像根本不算概率期望罢…… 我们考虑$[l,r]$中，如果删去了区间中所有不是区间中其他任何数的倍数的数，则整个区间内所有的数都会被删去；反之，假如剩下了某些不是区间中其他任何数的倍数的数，则此区间一定不会被全部删完。 于是我们考虑求出区间中上述数的个数。考虑
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摘要：XI.[HNOI2011]XOR和路径 同上题一样，本题采用倒序DP的方式。 我们考虑按位处理。设当前处理到第$p$位，再设$f_i$表示从位置$i$出发，到达终点时的期望结果。 则对于一条边$(x,y,z)$，如果$z$在第$p$位上是$1$，则有$f_x\leftarrow 1-f_y$；否则，
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摘要：X.[SDOI2012]走迷宫 这题本来是一个SCC+高斯消元的模板题来着的……但关键是DP状态的设计。 首先先判一下无解。显然，如果从起点出发能够走到一个走不到终点的点，则为无解。这很好想——只要答案有为无穷大的可能，无论概率多小，最终答案都会为无穷大。 然后就是DP设计了。我们无论设什么从起点出
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摘要：VII.[ZJOI2015]地震后的幻想乡 本题有两种思路。 一种思路是从暴力入手并优化状态。 我们考虑边的一组排列${p_1,\dots,p_m}$。它是将边按照边权从小到大排列的结果。则我们在这组排列上跑Kruskal，设在加入排名为$i$的边时跑出了一棵生成树，则这组排列的答案就是排名为$i$
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摘要：VI.[LnOI2019]加特林轮盘赌 我们考虑设$f[i][j]$表示$i$个人中，第$j$个人最终存活的概率。 我们先考虑$j>1$的情况。此时，有$p$的概率排在首位的人挂掉，局面变为$f[i-1][j-1]$；反之，有$1-p$的概率首位存活，这就相当于所有人向前进一格，局面变为$f[i][
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摘要：V.[SHOI2014]概率充电器 这题实际上很简单，但是我却想歪了…… 我们我们可以设$f_i$表示$i$节点熄灭的概率。之所以不设为亮起的概率，是因为熄灭当且仅当周边节点没有一个连得到它，但是亮起却是周边至少有一个能连到它——用脚趾头想都知道哪个容易求。 设$p_i$表示$i$节点本身通电的概率
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摘要：V.[六省联考2017]分手是祝愿 首先，本题的基础是想到一种求解的方式： 当前第$n$盏灯只能被第$n$个开关控制，故我们只能操纵第$n$个开关将其搞灭。当其熄灭后，又相当于进入了$n-1$的游戏—— 因此，我们可以发现（或者瞎猜出来），任意局面都有唯一的最优方法，它操作在一组特定位置上。假如一次
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摘要：IV.[JSOI2016]反质数序列 神题……想了一下午才想出来…… 同前几题一样，我们可以提出所有和为质数的对，然后跑二分图最大独立集。 先证明一下它为什么是二分图：我们可以令所有奇数为左部，所有偶数为右部。则所有同部间的对的和都是偶数（奇+奇=偶，偶+偶=偶）。则它是一个二分图。 等等，我们好像
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摘要：III.[SDOI2016]数字配对 这题是[LightOJ1356]Prime Independence 的加强版Orz... 思想还是一致的，可以建出二分图来，只是二分图单重匹配变成了多重匹配。 然后呢？这个“价值$\geq0$”的约束怎么办？ 题解的办法太神仙了，蒟蒻表示看不懂Orz... 于
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摘要：I.[LightOJ1356]Prime Independence 话说我把这么毒瘤的题放到二分图第一题是不是有些不好QaQ 翻译：给你$n$个不同的正整数$num_1...num_n$，要你从中选择最多的数，使得这些数里面没有一个是另一个的质数倍。输出你选择的数的个数。 首先，我们必须明确一点，就
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摘要：XXXVI.[UOJ#498]新年的追逐战 考虑最simple的场景，即我们要计算的是两张图的乘积 \(G=G_1\times G_2\)。显然，\(G\) 中的两个点 \((u_1,u_2)\) 与 \((v_1,v_2)\) 联通，当且仅当存在两条长度相等的可以是非简单的路径，满足第一条在 \(
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摘要：XXXV.[WC2019]数树 首先将问题从”存在路径同时属于两个树“，先转换成被两个树上同时存在的边连成的连通块中的所有边须有相同颜色。进一步地，因为两棵树的并必然是森林，而森林的连通块数即为点数减边数，因此一对树 \(T_1,T_2\) 的贡献便是 \(f(T_1,T_2)=y^{n-|T_1\
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摘要：XXXIV.Biggest Set Ever 可能看不到题，简洁给一下题意： 求 \(\prod\limits_{i=0}^{T-1}(1+x^i)\) 中所有次数 \(\equiv m\pmod{n}\) 的项的系数之和。 数据范围：\(0\leq m<n\leq10000,1\leq T<10^
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摘要：XXXIII.Jetpack[CSACADEMY] 我们考虑先通过一些科技求出“一段长度为 \(2i\) 且相邻两位置差的绝对值为 \(1\) 且首尾都是 \(0\) 的序列的数量”，记其为 \(f_i\)。 大约的确可以列出奇奇怪怪的式子表示 \(f_i\) 然后使用奇奇怪怪的可以优化求值的过程，
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摘要：XXXII.[AGC005F] Many Easy Problems 直接计算恐怕不太容易，正难则反，考虑一个节点何时不被包含在一个连通块内。 显然，假如我们以当前节点为根，则当且仅当集合中所有节点同处在其某一个儿子的子树内，当前节点不在连通块内。 我们设 \(f(i,j)\) 表示节点 \(i\)
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摘要：XXXI.[CTS2019]珍珠 设$cnt_i$为$i$颜色的出现次数。 则由题意，应有$\sum\limits_^\left\lfloor\dfrac{2}\right\rfloor\geq m$ 下面开始颓式子： \(\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{D}\l
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摘要：XXX.calc加强版 没错，这题还有个加强版，要从多项式角度考虑了。 首先，很容易就能想到，单个数$a$的生成函数即为$1+ax$，而我们要求的就是$\prod\limits_^(1+ix)$这个多项式的前$n$项的系数。 我们在之前XV.付公主的背包中也碰见过类似的形式。于是我们可以直接套上一个
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摘要：XXIX.[集训队互测2012] calc 考虑DP。 我们设$f(i,j)$表示所有有$i$个数，且每个数都处于$[1,j]$区间内的递增序列的值之和。则答案即为$f(n,m)\times n!$（因为题目中不限制只有递增序列） 我们考虑DP，则有 \(f(i,j)=f(i-1,j-1)\time
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摘要：XXVIII.[NOI2017]泳池 常系数齐次线性递推的应用。 我们首先将问题转换为（面积小于等于$K$的方案数）减去（面积小于等于$K-1$的方案数）。 然后考虑两个东西分别DP。我们设当前考虑的是面积小于等于$m$的情况。 我们设$f_{i,j}$表示考虑一段长为$i$的沙滩，其中前$j-1$
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