k 次方和问题
参考：
普通幂转下降幂
第二类斯特林数在 \(k\) 次方和问题中极为常见，普通幂转下降幂就是其典型用法。
\[a^k=\sum_{i=1}^{\min(a,k)}{a\brace i}a^{\underline{i}}
\]
???+ 证明（组合意义）
给 \(k\) 个有标号球，随机染 \(a\) 种颜色。
显然方案数为 \(a^k\)。另一方面，假设实际用了 \(i\) 种颜色，则可根据颜色把 \(k\) 个球分进 \(i\) 个集合，方案数 \({k\brace i}i!\binom{a}{i}={a\brace i}a^{\underline{i}}\)
???-
例. 自然数幂求和
适用于无法求逆元的情况，例题。
\[\begin{align*}
\sum_{i=0}^{n-1}i^k&=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{m}{m\brace j}i^{\underline{j}} \\
&=\sum_{j=1}^{m}{m\brace j}\sum_{i=0}^{n-1}i^{\underline{j}} \\
&=\sum_{j=1}^{m}{m\brace j}\sum_{i=0}^{n-1}j!\binom{i}{j} \\
&=\sum_{j=1}^{m}{m\brace j}j!\binom{n}{j+1} \\
\end{align*}
\]
代入 \(e^x\)
设 \(f_i\) 表示权值为 \(i\) 的方案数，\(g_i\) 表示所有方案权值的 \(i\) 次方和。
\[g_i=\sum_{j=0}^{\infty}f_jj^i
\]
设 \(F(x),\widehat{G}(x)\) 分别为 \(f\) 的 OGF，\(g\) 的 EGF。
\[\begin{align*}
\widehat{G}(x)&=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{g_ix^i}{i!} \\
&=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\sum_{j=0}^{\infty}f_jj^i \\
&=\sum_{j=0}^{\infty}f_j\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(jx)^i}{i!} \\
&=\sum_{j=0}^{\infty}f_je^{jx} \\
&=F(e^x)
\end{align*}
\]
例. 自然数幂求和 & 伯努利数
令 \(f_i=[i<n]\)，则 \(g_k=S_k(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}i^k\)。
则 \(F(x)=\frac{x^n-1}{x-1}\)
则
\[\widehat{G}(x)=F(e^x)=\frac{e^{nx}-1}{e^x-1}
\]
展开
\[\begin{align*}
\left[\frac{x^k}{k!}\right]\widehat{G}(x)&=k![x^k]\widehat{G}(x) \\
&=k![x^k]\left(\frac{x}{e^x-1}\right)\left(\frac{e^{nx}-1}{x}\right) \\
&=k!\sum_{i=0}^{k}\left([x^i]\frac{x}{e^x-1}\right)\left([x^{k-i}]\frac{e^{nx}-1}{x}\right) \\
&=k!\sum_{i=0}^{k}\left([x^i]\frac{x}{e^x-1}\right)\left([x^{k-i+1}](e^{nx}-1)\right) \\
&=k!\sum_{i=0}^{k}\left([x^i]\frac{x}{e^x-1}\right)\frac{n^{k-i+1}}{(k-i+1)!} \\
&=k!\sum_{i=0}^{k}\frac{1}{i!}\left(\left[\frac{x^i}{i!}\right]\frac{x}{e^x-1}\right)\frac{n^{k-i+1}}{(k-i+1)!} \\
&=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}n^{k-i+1}\left(\left[\frac{x^i}{i!}\right]\frac{x}{e^x-1}\right)
\end{align*}
\]
\(B_i=\left[\frac{x^i}{i!}\right]\frac{x}{e^x-1}\) 是伯努利数，可见伯努利数 EGF 为 \(\frac{x}{e^x-1}\)
例. P6667 [清华集训 2016] 如何优雅地求和
下降幂/组合数多项式
下降幂多项式：
\[F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_ix^{\underline{i}}
\]
组合数多项式：
\[F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_i\binom{x}{i}
\]
注意到二者只是系数差阶乘的区别，类似 OGF 与 EGF，不过似乎没啥组合意义，而且目前没有发现下降幂多项式能做另一个做不了（或反之）的题，后面只讨论下降幂多项式（FFP），这个比较通用。
FFP 与点值表示转化
\[F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_ix^{\underline{i}}=\sum_{i=0}^{\infty}f_ii!\binom{x}{i}
\]
二项式反演：
\[f_ii!=\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}(-1)^{i-j}F(j)
\]
\[\begin{align*}
\sum_{i=0}^{\infty}f_ix^i&=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}(-1)^{i-j}F(j) \\
&=\sum_{j=0}^{\infty}F(j)\sum_{i=j}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\binom{i}{j}(-1)^{i-j} \\
&=\sum_{j=0}^{\infty}F(j)\frac{1}{j!}\sum_{i=j}^{\infty}\frac{x^i}{(i-j)!}(-1)^{i-j} \\
&=\sum_{j=0}^{\infty}F(j)\frac{x^j}{j!}\sum_{i=j}^{\infty}\frac{(-x)^{i-j}}{(i-j)!} \\
&=\sum_{j=0}^{\infty}F(j)\frac{x^j}{j!}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-x)^i}{i!} \\
&=e^{-x}\sum_{j=0}^{\infty}F(j)\frac{x^j}{j!} \\
\end{align*}
\]
自然数幂求和是难求的，但组合数列和是好求的，故下降幂前缀和也是好求的，所以通过转 FFP，我们有时（尤其是带组合数时）能把 k 次方和转为 k 次下降幂和。
???+ 下降幂前缀和
\[\sum_{i=0}^{n}i^{\underline{k}}=k!\sum_{i=0}^{n}\binom{i}{k}=k!\binom{n+1}{k+1}=\frac{(n+1)^{\underline{k+1}}}{k+1}
\]
???-
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