做题记录 2026.03

*ARC133F Random Transition

看这种对位乘下标，想到生成函数的 \(\vartheta\) 算子，即 \(x\frac{d}{dx}\)，效果是 \(\vartheta x^i=ix^i\)。

设 \(k\) 次操作后概率函数为 \(F_k(z)\)，则

\[F_k(z)=\frac{1}{nz}\vartheta F_{k-1}(z)+z(F_{k-1}(z)-\frac{1}{n}\vartheta F_{k-1}(z)) \]

化简得

\[F_k(z)=\frac{1-z^2}{N}\frac{d}{dz}F_{k-1}(z)+zF_{k-1}(z) \]

根据 GeMini，考虑这个微分算子的特征多项式。

接下来参考本文。

设特征值分解的系数是 \(q\)，其生成函数是 \(Q\)，则

\[F_0(z)=\sum\limits_{m=0}^n q_m\phi_m(z)=(1-z)^n\sum\limits_{m=0}^n q_m\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^m=(1-z)^nQ\left(\frac{1+z}{1-z}\right) \]

换元，设 \(u=\frac{1+z}{1-z}\) 可得

\[Q(u)=2^{-n}(1+u)^nF_0\left(\frac{u-1}{u+1}\right) \]

然后可以直接用这个方法，当然也有笔者口胡的更简单做法：

分离常数 \(F_0\left(\frac{u-1}{u+1}\right)=F_0\left(1-\frac{2}{1+u}\right)\)。

多项式平移求出 \(F_0(1+x)\)；再奇数位取反求出 \(F_0(1-x)\)；再逐位乘 \(2\) 幂求出 \(F_0(1-2x)\)；再把系数 reverse 求出 \(x^nF_0(1-\frac{2}{x})\)；再平移求出 \((1+x)^nF_0(1-\frac{2}{1+x})\)；最后多项式求逆除掉 \((1+x)^n\)，求出 \(F_0\left(1-\frac{2}{1+x}\right)\)。

*AT_abc238_h [ABC238Ex] Removing People

逆序考虑

显然要把期望转为求和。从只剩一个人开始，每次加一个人，会把序列划分为左右两段，于是区间 DP。

维护区间内的方案数与所有方案代价之和，转移合并两个区间时需要乘上两个排列交错的组合数。

有细节。