斯特林数

第二类斯特林数

设 $ {n\brace m}$ 表示 \(n\) 个元素放进 \(m\) 个无区别集合的方案数。

有 \({n\brace m}= {n-1\brace m}\cdot m+{n-1\brace m-1}\)
表示对于第 \(n\) 个元素，新开一个集合和加入原有的集合的方案数。

\({n\brace m}=\sum_{i=1}^n {n-i\brace m-1} \binom{n-1}{i-1}\)
表示枚举 \(1\) 所在集合的大小。

通项

首先有 \(m^n=\sum_{i=0}^m \binom{m}{i}{n\brace i} i!\).
设 \(F(i)={n\brace i} i!\)，\(G(i)=i^n\)，根据二项式反演：
\(G(m)=\sum_{i=0}^m \binom{m}{i}F(i)\)，
故 \(F(m)=\sum_{i=0}^m (-1)^{m-i}G(i)\).
所以 \({n\brace m}=\sum_{i=0}^m \dfrac{(-1)^i}{i}\cdot \dfrac{(m-i)^n}{(m-i)!}\).
发现这是一个卷积的形式，直接使用 NTT 求解即可。