一些微积分中的中值定理

积分第一中值定理：

设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 连续，且 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 可积且不变号（始终非负或始终非负），那么存在 \(c\in [a,b]\)，使得

\[\int^b_af(x)g(x)\text{d}x = f(c)\int^b_ag(x)\text{d}x \]

证明：

令 \(M\) 为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 的最大值，\(m\) 为最小值。

那么 \(m\leq f(x)\leq M\)。

因为 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 不变号，我们就假设 \(g(x) \geq 0\)（\(g(x)<0\) 时证明方法类似）。

因此 \(mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)\)。

同时求积分。

\(\displaystyle\int^b_amg(x)\text{d}x\leq \int^b_af(x)g(x)\text{d}x\leq \int^b_aMg(x)\text{d}x\)。

\(m\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x\leq \int^b_af(x)g(x)\text{d}x\leq M\int^b_ag(x)\text{d}x\)。

若 \(\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x = 0\)，则由上式可知，\(\displaystyle\int^b_af(x)g(x)\text{d}x = 0\)，这样原命题的两边都等于 \(0\)，肯定成立。

否则同时除以 \(\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x\)。

\(m\leq \dfrac{\displaystyle\int^b_af(x)g(x)\text{d}x}{\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x}\leq M\)。

因此，根据介值定理（这个就不用我证明了吧，您去搜搜吧，我太累了😭），必然存在 \(c\) 满足 \(c\in [a, b]\) 且 \(f(c) = \dfrac{\displaystyle\int^b_af(x)g(x)\text{d}x}{\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x}\)。

所以，\(f(c)\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x = \displaystyle\int^b_af(x)g(x)\text{d}x\)。

罗尔定理

假设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续且在 \((a,b)\) 内可导，且 \(f(a) = f(b)\)，则存在 \(c\in(a, b)\)，使得 \(f'(c) = 0\)。

证明：

若 \(f\) 在 \((a, b)\) 上的最大值或最小值在 \(x = c\) 处，则 \(f'(c) = 0\)。

否则的话，最大值和最小值都在 \(x = a\) 和 \(x = b\) 上。

又因为 \(f(a) = f(b)\)，因此这个函数是常函数，所以对于所有 \(c\in(a, b)\)，都有 \(f'(c) = 0\)。

柯西中值定理：

设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 内连续，且在 \((a, b)\) 内可导，且对于任意 \(x\in (a, b)\) 有 \(g'(x)\not= 0\)，那么存在 \(c\in (a,b)\) 使得

\[\dfrac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \]

证明：

令 \(h(x) = g(x)(f(a) - f(b)) - f(x)(g(a) - g(b))\)。

则

\[\begin{align*} h(a) &= g(a)f(a) - g(a)f(b) - f(a)g(a) + f(a)g(b) = f(a)g(b) - f(b)g(a) \\ h(b) &= g(b)f(a) - g(b)f(b) - f(b)g(a) + f(a)g(b) = f(a)g(b) - f(b)g(a) \end{align*} \]

因此，\(h(a) = h(b)\)。

又因为 \(h(x)\) 是 \(g(x)\) 的常数倍减去 \(f(x)\) 的常数倍，所以 \(h(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内可导。

根据罗尔定理，存在 \(c\in (a, b)\)，使得 \(h'(c) = 0\)。

所以 \(g'(c)(f(a) - f(b)) - f'(c)(g(a) - g(b)) = 0\)。

得到 \(\dfrac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)}\)。

积分形式

设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \([a, b]\) 内连续，且对于任意 \(x\in [a,b]\)， \(g(x)\not= 0\) 且 \(g(x)\) 不变号，则存在 \(c\in(a, b)\) 使得

\[\dfrac{\displaystyle\int^b_af(x)\text{d} x}{\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x} = \dfrac{f(c)}{g(c)} \]

证明：

令 \(h(x) = \displaystyle\int^x_ag(x)\text{d} x\cdot\int^b_af(x)\text{d}x - \int^x_af(x)\text{d}x\cdot\int^b_ag(x)\text{d}x\)。

则

\[h(a) = h(b) = 0 \]

并且 \(h'(x) = g(x)\displaystyle\int^b_af(x)\text{d}x - f(x)\int^b_ag(x)\text{d}x\)，说明 \(h(x)\) 可导。

则根据罗尔定理，存在一点 \(c\in(a, b)\)，使得 \(h'(c) = 0\)。

所以 \(\dfrac{f(c)}{g(c)} = \dfrac{\displaystyle\int^b_af(x)\text{d}x}{\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x}\)。

拉格朗日中值定理

已知 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，且在 \((a,b)\) 内可导，则存在 \(c\in (a, b)\)，使得 \(f'(c) = \dfrac{f(a) - f(b)}{a - b}\)。

这个直接由柯西中值定理的特例 \(g(x) = x\) 就能得到。

积分形式同理。

对于微分形式，还有一种证法：

令 \(g(x) = f(x) - \dfrac{f(a) - f(b)}{a - b}(x - a)\)。

所以 \(g(x)\) 连续可导，且由

\[\begin{align*} g(a) &= f(a) \\ g(b) &= f(b) + f(a) - f(b) = f(a) \end{align*} \]

得到 \(g(a) = g(b)\)。

根据罗尔定理，存在 \(c\in(a, b)\)，使得 \(g'(c) = 0\)。

即 \(f'(c) - \dfrac{f(a) - f(b)}{a - b} = 0\Leftrightarrow f'(c) = \dfrac{f(a) - f(b)}{a - b}\)。

（大功告成，去写作业喽 😄）。