一个关于sin的极限

\[\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]

因为 \(y = \sin x\) 关于坐标轴原点中心对称，所以我们只需要证明

\[\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1 \]

就行。

我们先规定， \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\)。

从这里，我们可以得到 \(S_{\triangle ABC} <\) \(S_{扇形 ABC}\) < \(S_{\triangle ABD}\)。

我们得到，\(S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}\times1\cdot \sin x = \dfrac{\sin x}{2}\)。

\(S_{扇形 ABC} = \dfrac{1}{2} \times 1^2\cdot x = \dfrac{x}{2}\)。

\(S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2}\times 1 \cdot \tan x = \dfrac{\tan x}{2}\)。

所以 \(\dfrac{\sin x}{2} < \dfrac{x}{2} < \dfrac{\tan x}{2}\Leftrightarrow\sin x < x < \dfrac{\sin x}{\cos x}\Leftrightarrow 1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x}\) 。

同时取倒数，得到 \(\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1\)。

同时去极限，得到 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\cos x < \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} < 1\)。

又因为 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\cos x = 1\)，根据夹逼定理，有 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1\)。

所以得证。