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定义：对 \((a,n)=1\) ，则满足 \(a^m\equiv 1 \:(mod~n)\) 的最小正整数 \(m\) 称为 \(a\) 模 \(n\) 的阶，记作 \(\delta_n(a)\) 以下引用阶符号时默认 \((a,n)\) 互质 由欧拉定理，阶的存在性是显然的，下面给出几条阶的性质 阅读全文
posted @ 2024-07-12 23:27
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定义：称满足 \(\delta_n(a)=\varphi(n)\) 的 \(a\) 为模 \(n\) 的原根 性质： \(g,g^2,...,g^{\varphi(n)}\) 构成模 \(n\) 的简系 当且仅当存在奇素数 \(p\) 及整数 \(\alpha\) 使得 \(n\in\{p^\alp 阅读全文
posted @ 2024-07-12 23:27
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1、奇素数 \(p\) 满足 \(p\mid a-b,p\nmid a,p\nmid b\) ，则有 \(v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+n\) 证明：我们归纳证明。只需证下面两个引理： \(v_p(a^p-b^p)=v_p(a-b)+1,p\mid a-b,p\nmid a,p\nmi 阅读全文
posted @ 2024-07-12 20:49
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CP4 杂题 例1 设递增正整数数列 \(\{a_n\}\) 满足相邻两项差不超过常数 \(k\) ，求证： 存在无穷对 \((i,j),s.t.~a_i\mid a_j\) 构造 \(k\) 列无穷数表，第一行为 \(a_1+1,a_1+2,...,a_1+k\) ，之后若第 \(j\) 行为 \ 阅读全文
posted @ 2024-07-12 11:18
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本文将介绍一些整除的相关问题，并没有很多的前置知识，因此会更偏向妙解 整除的基本性质： \(a\mid b,b\mid c=>a\mid c\) \(a\mid b,a\mid c=>a\mid b\pm c\) \(a\mid b=>a\mid bc,\forall c\in Z\) \(a\mi 阅读全文
posted @ 2024-07-12 10:51
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UPD on 2025.8.4：修正了一些错误 多项式同余：对 \(f,g\in Z[x]\) 定义 \(f\equiv g\:(mod~n)\) 当且仅当 \(\exists h\in Z[x],f-g=nh\) 下面默认 \(f,g,h,k\in Z[x]\) （不过应用这些定理时一定要指出其满 阅读全文
posted @ 2024-07-12 10:46
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对两两互素的 \(k\) 个正整数 \(m_1,m_2,...,m_k\) 与任意整数 \(c_1,c_2,...,c_k\) ，存在整数 \(x\) 满足： \( \begin{cases} &x\equiv c_1\:(mod~m_1)\\ &x\equiv c_2\:(mod~m_2)\\ & 阅读全文
posted @ 2024-07-12 10:22
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